第2节　三角形中的边角关系

在几何学中，我们关注的最基本的一类问题是长度和角度之间的关系。“数学的根源在于普通的常识”。现在设想我们走了一段距离，然后拐了一个弯，接着又走了一段距离（见右图），那么我们此刻离起点有多远呢？在右图中，边AC₁对应于∠ABC₁，边AC₂对应于∠ABC₂，边AC₃对应于∠ABC₃。显然，终点与起点的距离AC₁、AC₂、AC₃与∠ABC₁、∠ABC₂、∠ABC₃的大小相对应，它们之间的关系就是我们在几何学中要进一步研究的三角形的边角关系。如何开始研究呢？

数学王子高斯（1777—1855）认为数学是眼睛的科学，少不了观察。大数学家欧拉（1707—1783）也说数学需要观察和实验。今天人们所知道的数的性质几乎都是通过观察发现的。

【例1】　观察三角形的边与角之间有什么关系。

画一个一般的三角形ABC，它的3个顶点是A、B、C，3条边是a、b、c（不一样长），它们所对的角分别是∠A、∠B、∠C，如下图所示。

通过观察可知，a大于b，∠A大于∠B。

进而联想：在三角形中，大边对大角，小边对小角；反过来也可以说，大角对大边，小角对小边。

继续联想：等腰三角形（见右图）的两个底角相等。

在此，我们介绍4种证法。

证法一：这种证法的依据是“连续性原理”。既然三角形的大边对大角，小边对小角，那么我们可让大边逐渐变短，则它所对的角也就逐渐变小。当这条边变得与小边相等时，则它所对的角就会变得和小边所对的角相等了。于是，我们就得到结论：等边对等角。

证法二：采用反证法。假设两个底角不相等，则根据“大角对大边，小角对小边”可以推出此三角形的两条边不相等，这和已知矛盾，因此假设不对，所以等腰三角形的两个底角相等。

继续联想：等边三角形的3个内角相等。

证法三：以下内容引自远山启（1909—1979）所著的《数学与生活》。

关于等腰三角形的两个底角相等，古希腊的泰勒斯（约前624—约前546）不知道怎样证明这个定理，而欧几里得（约前330—前275）以惊人的复杂方法做出了证明。在欧几里得之后约500年（3世纪）出了个巴伯斯，他简单地利用“两边夹一角”定理就做出了证明，那就是将三角形翻过来。

如右图所示，将△ABC按B-A-C和C-A-B的顺序进行比较，则边-角-边分别为BA-∠BAC-AC和CA-∠CAB-AB。由于AB=AC，我们将三角形向右翻过来使这两条边重合，则点B和C、A和A、C和B能够重合，故有∠ABC =∠ACB（证毕）。

证法四：这里介绍欧几里得的《几何原本》中的证法。如右图所示，已知在△ABC中，AB=AC，欧几里得是这样证明∠1=∠2的。

把边AB延长到点F，把边AC延长到点G，使BF=CG，可见在△AFC和△AGB中AB=AC（已知），∠A =∠A（公共角）。由此可得AF=AG（等量加等量，其和相等），所以△AFC≌△AGB（边角边定理），因而FC=GB，∠3=∠4，∠ACF=∠ABG。故知△CBF≌△BCG（边角边定理），可得∠5=∠6。于是，∠1=∠2（等量减等量，其差相等）。

注意：在《几何原本》中，在这个命题之前，边角边定理（若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则二者全等）已得到证明。

人们发现，在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边就等于斜边的一半。换句话说，30°角所对的直角边与斜边的比等于1/2。这条性质与三角形的大小无关。

人们就会自然地联想到，如果直角三角形的一个锐角不是30°，而是任何其他度数（见右图），它的对边与斜边的比也是确定的值吗？

人们经过研究发现，只要锐角A的大小确定，那么在用它作为一个角画出的直角三角形中，它的对边与斜边的比就是一个确定的值。因此，人们就想到用一个专门的记号来表示，即，称为∠A的“正弦”。类似地，，称为∠A的“余弦”；，称为∠A的“正切”。

人们进而把它们叫作“三角函数”，下面是几个特殊角的三角函数值。

对于任意三角形（见下图），以下边角关系成立（此处不细讲）。

正弦定理： 。

余弦定理： 。

【例2】　在下图所示的筝形ABDC中，BA=BD，CA=CD，求证∠BAC=∠BDC。

证明：连接AD，并标明∠1、∠2、∠3、∠4，如下图所示。

在△ABD中，因为BA=BD，所以∠1=∠2（等腰三角形的两个底角相等）。同理，在△ACD中，由于CA=CD，所以∠3=∠4。因此，∠BAC=∠BDC（证毕）。

【例3】　证明等边三角形的3条中线交于一点。

证法一：画出示意图，如右图所示。我们知道，等边三角形的3条边一样长，它是一种非常特殊的三角形，而且它是轴对称图形。这就是说，如果我们将等边三角形沿对称轴翻转180°，那么它看起来和原来完全一样。但应注意到，等边三角形左右两条边的中点会交换位置，同时连接它们到各自相对的顶点的两条线段（即中线）也会交换位置（见右图）。这意味着这两条中线的交点不会位于对称轴的任何一侧，也就是说这个交点必然在对称轴上。如果不是这样的话，当我们将等边三角形翻转180°时，这个交点就会移动到对称轴的另一侧，如下图所示。出现这种情况时，我们就能够发现差异，而这是对称性所不允许的。可见，这条对称轴就是第三条边上的中线，由此证明等边三角形的3条中线交于一点。

证法二：我们注意到等边三角形具有旋转对称性，也就是说如果将它绕着一个点旋转120°（即周角的1/3），那么它看起来还和原来一样，如左图所示。这个点必然是一个中心点。

现在，我们沿着3条对称轴中的任意一条翻转等边三角形（并没有偏向任何一个顶点），发现等边三角形都不会发生变化。这说明这个中心点位于3条对称轴上，也就是说3条中线交于一点（见右图）。这个点就叫作等边三角形的旋转中心。

应该说明，上述证法摘自保罗·洛克哈特所著的《度量》。另外，保罗·洛克哈特还说了一段有趣的话。他说：“这就是数学论证的一个示例，也被称为证明。一个证明就是一个故事，问题的要素扮演故事中的角色，而故事的情节则完全取决于你。与任何虚构的文学作品一样，我们的目标是写出一个叙事引人入胜的故事。就数学来说，这就意味着不仅要求情节合乎逻辑，同时又要求简单优美，没有人喜欢曲折复杂的证明。毫无疑问，我们需要遵从理性前进，但同时我们也想被证明的魅力和美征服。一句话，证明既要漂亮，也要符合逻辑，二者缺一不可。”