1.4.1 函数运算误差

当自变量有误差时，一般情况下，相应的函数值也会产生误差。可用函数的泰勒展开式分析这种误差。

设一元函数f（x）的自变量x的近似值为x*，一元函数f（x）的近似值为f（x*），其误差限记为ε[f（x*）]，对f（x）在近似值x*附近泰勒展开

ξ介于x和x*之间，取绝对值得

式中ε*为近似数x*的绝对误差限。

设f′（x*）与f″（x*）相差不大，可忽略ε*的高次项，于是可得出函数运算的误差和相对误差

设多元函数y=f（x₁，x₂，…，x_n）的自变量x₁，x₂，…，x_n的近似值为，多元函数y的近似值为，函数值y*的运算误差可用函数y的泰勒展开式得到

记，则上式简记为

于是误差限

相对误差限

利用上式可得和、差、积、商的误差估计。

例1-13 设x＞0，x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

解 因x有相对误差，所以设x是真值的一个近似值，利用式（1-10）有e（xn）≈，由式（1-11）有