第一章 平面图形
问题1 为什么圆的面积公式是πr2（圆周率×半径2）呢？
（1）如下图所示，画出多边形的外接圆。图中圆（红色虚线）的直径是100 cm。用正六边形、正十二边形和正十八边形的周长除以直径后分别是多少？（四舍五入到小数点后二位）
（2）半径是10 cm的圆的面积是多少？（π取3.14）
回答：
答案与解析▶问题1
（1）答案：正六边形3.00，正十二边形3.11，正十八边形3.13
正六边形 50 cm×6÷100 cm=3.00
正十二边形 25.9 cm×12÷100 cm=3.108≈3.11
正十八边形 17.4 cm×18÷100 cm=3.132≈3.13
点拨
正n边形的边数越多，该图形越接近圆。因此，当正n边形的周长除以圆的直径时，边数越多，结果会越接近圆周率π（圆的周长÷直径）。
（2）答案：314 cm2
10 cm×10 cm×3.14=314 cm2
点拨
圆的面积公式“πr2”是怎么得来的呢？让我们来思考一下吧。
如果将圆100等分，平行四边形会更近似长方形。
因为圆的周长=直径×π=半径×2×π，所以，长方形的面积=半径×半径×π=圆的面积。
问题2 哪条路更近？
（1）下图中，①和②的粗线的长度分别是多少？（π取3.14）
（2）从丽丽家到松树公园有两条由半圆形组合起来的道路—樱花大道和鲜花小道，如下图所示。请问哪一条是捷径？还是说两条路的路程相同？
回答：
答案与解析▶问题2
（1）答案：①9.42 cm ②9.42 cm
点拨
圆的周长=直径×圆周率。
（2）答案：两条路的路程相同
樱花大道的直径和鲜花小道的3条直径之和是相等的。因此，樱花大道的弧长与鲜花小道的3条弧长之和也是相等的。
点拨
如果使用“乘法分配律”，则问题（1）中的②与①的算式相同。
同理，问题（2）中，用○m、□m和△m分别表示鲜花小道的3个半圆的直径，则两条路径的算式也相同：
问题3 哪条边更长？
（1）下图中，①和②的粗线的长度分别是多少？
（2）下图中，①是边长为10 cm的等边三角形横向重叠排列而成的图形，②是一个边长为35 cm的等边三角形。问①和②中粗线的长度相差多少？如果没有差别请回答“0 cm”。
回答：
答案与解析▶问题3
（1）答案：①26 cm ②26 cm
长方形的周长=（长+宽）×2
①（5 cm+8 cm）×2=26 cm
②5 cm+8 cm+3 cm+4 cm+（5 cm-3 cm）+（8 cm-4 cm）=26 cm
点拨
如下图所示，如果将②的部分线段（红线部分）推向外侧，可以将其变形为长方形。
（2）答案：0 cm
如下图所示，移动①的部分线段，得出其周长与②的相等。
问题4 操场有多大？
（1）某地图上100 cm2的樱桃公园的实际占地面积是5 km2。问该地图上10 cm2的菠萝公园的实际占地面积是多少平方千米？
（2）某地图上一条10 cm长的道路的实际长度是5 km。问该地图上10 cm2的桃子公园的实际占地面积是多少平方千米？
回答：
答案与解析▶问题4
（1）答案：0.5 km2
点拨
地图上的面积缩小为原来的
，实际面积也会缩小为原来的
。
（2）答案：2.5 km2
【其他解法】
比例尺为
，因此
10 cm2×50000×50000÷（100000×100000）=2.5 km2
问题5 角的度数之和是多少？
（1）下图①和②中带标记的角的度数之和分别是多少？（虚线图形是正五边形。）
（2）下图中，带标记的角的度数之和是多少？（图中的6个等大的四边形都是正方形。）
回答：
答案与解析▶问题5
（1）答案：①180° ②180°
①中正五边形的一个外角是：
360°÷5=72°
那么，●角的度数是：
72°÷2=36°
于是，所有带标记的角的度数都是：
（180°-72°）-36°×2=36°
五个角加起来就是：
36°×5=180°
由三角形外角定理可知，②中带标记的两个角的度数之和与下图中的●角或○角的度数相同。
点拨
三角形外角定理：三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和。
（2）答案：45°
左下图中的3个彩色三角形是全等的直角三角形。
●+×=90°
右下图中的彩色三角形是一个等腰直角三角形，那么，带标记的两个角的度数之和是：
90°-45°=45°
问题6 飞镖形四边形的角的度数是多少？
下图①和②中带标记的角的度数分别是多少？
回答：
答案与解析▶问题6
答案：①90° ②108°
①画上辅助线，即可利用三角形的外角定理。
②画上辅助线（圆的半径），形成等腰三角形（图①）。再画一条辅助线，即可利用三角形外角定理算出答案（图②）。
点拨
问题7 分割成同样的形状！
下图①和②中的图形是正三角形和正六边形。问正六边形的面积分别是正三角形的几倍？
回答：
答案与解析▶问题7
答案：①
倍（
倍） ②
倍（
倍）
①将图形分割成相同的等边三角形。
②将图形分割成相同的等边三角形。
点拨
即使是没有求积公式的图形，也可以利用平均分割求出倍数。
问题8 找出相同的形状，相同的长度！
（1）下图中有边长为12 cm的正方形和半径是6 cm的圆以及圆弧。问阴影部分的面积之和是多少平方厘米？（π取3.14）
（2）下图为边长未知的正方形，所有带标记的角的度数都是45°。问阴影部分的面积是多少平方厘米？
回答：
答案与解析▶问题8
（1）答案：28.26 cm2
如下图所示，移动部分阴影后形成圆心角角度为90°的扇形。
点拨
寻找面积相同的图形，并移动它们的位置，这就是“等面积移动”。
（2）答案：32 cm2
如下图所示，阴影部分是由4个等腰直角三角形合成的图形（对角线为8 cm的正方形）。
点拨
当问题中出现“45°角”这一条件时，即可尝试找出或做出一个等腰直角三角形。
问题9 头晕眼花！
（1）如下图所示，沿箭头方向将圆盘从A点滚动到B点。请从以下a—d中选出圆盘移动到B点时的状态。（π取3.14）
（2）如下图所示，沿圆O的圆周，按箭头方向将圆盘从A点滚动到B点。当圆盘移动到B点时，将处于怎样的状态？请从上面的a—d中做出选择。此外，此时圆盘转了多少圈？（π取3.14）
回答：
答案与解析▶问题9
（1）答案：a
由8 cm×3.14×□=25.12 cm，□=1可知，圆盘的周长与A点到B点的直线距离相等，所以答案是a。
（2）答案：c，
圈
由8 cm×3.14×□=16 cm×3.14×
，□=1可知，圆盘的周长和A点到B点的弧线距离相等。如下图所示，直线上的运动距离相当于从A点到B点弧线的距离，所以答案是c。此时圆盘转了
点拨
圆盘滚动的圈数等于直线滚动的圈数（自转）与曲线滚动的圈数（公转）之和。
问题10 最终弹到什么地方？
从A角射出的球，碰到的如果是长方形的边，会继续反弹；碰到长方形的角，就会停在角上。如下图所示，从A角以45°的角度射出的球，5次碰撞长方形的边并反弹后，最终停留在D角。
同样，在下图中，从A角射出的球，撞上BC边上的E点之后反弹，问包括E点，球会反弹几次？最终会在哪个角上停下来？条件是，反弹前后的角度相同，如下右图所示。
回答：
答案与解析▶问题10
答案：5次，D角
首先，可以通过不断地画反弹图寻找答案，但是如果反弹次数太多，那么就很难画清楚。如果画成如下图所示的“将反弹后的线条摊开来画在另一侧”，加之运动不重叠，那么绘制起来就会变得容易点。
碰到点G之后也用同样的方式画图，得出最终的落点在D角上。
点拨
通过将图形轴对称展开，可以轻松解决反弹问题（反射问题）。
问题11 一共是多少平方厘米？
下图中有正方形ABCD和正方形EFGH，前者正好与半径为10 cm的圆相切，后者则为前者逆时针旋转45°形成。问图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？（π取3.14）
回答：
答案与解析▶问题11
答案：78.5 cm2
如下图所示，将阴影部分的图形移动到相同图形的位置上。
右侧也做同样处理，于是
点拨
两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。
问题12 台风经过的面积是多少？
（1）下图表示半径为15 cm的圆P沿半径为15 cm的圆O，从A点移动到B点。问圆P经过的面积（阴影部分）是多少？（π取3.14）
（2）下图表示半径为500 km的圆形台风中心从A点移动到B点。假设台风的大小和形状没有发生变化，问台风经过的面积是多少？（π取3.14）
回答：
答案与解析▶问题12
（1）答案：2590.5 cm2
借助图来思考，如下图所示。
点拨
平移的情况下，可使用公式：环宽×中心线=经过的面积。
（2）答案：4785000 km2
（500 km）2×3.14+1000 km×4000 km=4785000 km2
问题13 会有几个孔？
（1）如下图所示，依次折叠正方形ABCD，最后剪掉阴影部分。随即展开折纸，问纸上会有几个孔？
（2）如下图所示，依次折叠正六边形ABCDEF，剪掉阴影部分后，剩下一个小的正六边形。对这个正六边形再重复一遍前面的程序后，把折纸展开，问折纸的面积与原正六边形ABCDEF的面积比是多少？请用分数作答。
回答：
答案与解析▶问题13
（1）答案：2个
逆向思维，展开折纸。
点拨
做折纸问题时，要善于逆向思考，画出折叠前的图形。
（2）答案：
先看看第一轮后还剩下多少。
第一轮后剩下
，第二轮后剩下
点拨
利用图形的对称性。
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回答：
趣味数学1 答案与解析
