2.1.1 弹性地基梁基本理论

如图2-2所示，局部弹性地基上的长为l、宽度b=1m的等截面直梁，在外荷载q（x）及P作用下，梁和地基的沉陷为y（x），梁与地基之间的反力为σ（x）。选取坐标系xOy，外荷载、地基反力、梁截面内力及变形正负号规定如图2-2所示。

弹性地基梁的挠曲微分方程为

式中 k——地基的弹性压缩系数（kN/m3）。

弹性地基梁挠曲微分方程对应齐次方程为

齐次微分方程的通解为

令代入式（2-3）可得

根据θ（x）、M（x）、Q（x）与y（x）之间关系可得

式中 B₁、B₂、B₃、B₄——待定积分常数，可用初始截面（x=0）初参数（y₀、θ₀、M₀、Q₀）表示。

弹性地基梁左端（x=0）的边界条件为

y（x）|_x=0=y₀

θ（x）|_x=0=θ₀

将式（2-5）代入式（2-4）可得

将式（2-6）代入式（2-4），并注意，则有

其中 φ₁=chαxcosαx

φ₂=chαxsinαx+shαxcosαx

φ₃=shαxsinαx

φ₄=chαxsinαx-shαxcosαx

φ ₁、φ₂、φ₃、φ₄称为双曲线三角函数，它们之间存在如下微分关系

式（2-7）即为用初参数表示的齐次微分方程的解，式中每一项系数都具有明确的物理意义，例如式（2-7）的第一式中，φ₁表示当原点有单位挠度（其他三个初参数均为零）时梁的挠度方程，φ₂/2α表示原点有单位转角时梁的挠度方程等。在四个待定参数y₀、θ₀、M₀、Q₀中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另外两个待定参数由另一端的边界条件来确定。表2-1给出了两端自由弹性地基梁的梁端参数值。