3.5　多元积分学

多元函数有多重积分的概念，这里只介绍二重积分。定积分可用来求曲边梯形的面积，与此类似，二重积分可用来求曲顶柱体的体积。本节主要介绍二重积分的概念、计算方法等内容。

3.5.1　二重积分的概念

设函数在闭区域上有界，把闭区域任意划分成个可求面积的小闭区域，其中，表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个上任取一点，作乘积，并作和。令表示各小闭区域直径的最大值，若极限

存在，则称函数在区域上可积，并把极限值称为函数在闭区域上的二重积分，记为，即

其中，称为被积函数；称为被积表达式；称为面积元素；和称为积分变量；称为积分区域。

3.5.2　二重积分的计算

在Python中，没有直接求解二重积分的函数命令，需要先将二重积分化为二次积分：

或者

然后用程序求解。

例3-16　计算，其中，为由所围成的有界区域。

解：（1）绘制积分区域。

使用Python包SymPy中的solve函数求解方程组（x为非负数）。具体程序如下：

输出结果如下：

从结果可知，两条线的交点为（1,1），而与这两条线的交点为（0,2）和（1.414,2），使用Python包Matplotlib中的plot和fill_betweenx函数绘制积分区域。具体程序如下：

输出的积分区域如图3-8所示。

（2）计算。

从图3-8可以看出，可将积分化为先对x积分再对y积分，可使用Python包SymPy中的integrate函数求解定积分。具体程序如下：

输出结果如下：

例3-17　计算，其中，为表示的区域。

解：该二重积分在直角坐标系下没有解析解，但通过极坐标变换可以求解。具体程序如下：

输出结果如下：

因此，将原二重积分转化为

再使用Python包SymPy中的integrate函数求解定积分。完整程序如下：

输出结果如下：