第2章　摩擦接触问题的扩展有限单元法

2.1　引言

岩体中既存在受拉状态地张开型裂纹，也有压剪状态的闭合型裂纹。分析闭合型裂纹时，需要在裂纹面上施加合适的接触条件，以便反映裂纹面间的接触状态。接触条件的施加方法主要有罚函数法、Lagrange乘子法、增广Lagrange乘子法、线性互补法和Nitsche法等。

扩展有限单元法（XFEM）的基本原理是基于单位分解的思想在常规有限单元法位移模式中加进一些加强函数以反映不连续性，其位移逼近由连续和不连续两部分组成，因而XFEM的计算网格独立于裂纹面，然而XFEM分析疲劳裂纹和裂纹体受压时必须考虑裂纹面间的接触问题，否则裂纹面间会发生相互的嵌入现象。XFEM已耦合各种接触算法：罚函数法[89]、Lagrange乘子法[90]、增广的Lagrange乘子法[91]、Nitsche法[93]、线性互补法[94]。Dung[99]详尽地比较了XFEM中采用罚函数法、Lagrange乘子法和Nitsche法施加接触条件的优缺点。

常规有限单元法求解接触问题的一些算法都可用于XFEM中施加裂纹面的约束条件，但两种方法中裂纹面约束条件的施加并不完全相同。常规有限单元法中，裂纹位于单元边界，采用四结点四边形单元时，沿单元边界形函数是线性分布的；扩展有限单元法中，裂纹位于单元内部，采用四结点四边形单元时，若裂纹面不与单元边界平行，则沿裂纹面形函数是非线性分布的，另外裂尖加强函数也是非线性的。常规有限单元法中施加点约束就能正确地表示裂纹面接触，XFEM中施加点约束并不能正确地表示裂纹面接触（除非裂纹面与单元边界平行），因此XFEM使用点约束接触方案时需要采用一些稳定算法消除解的振荡性，比如减小乘子空间。Giner等[105]提出了基于Lagrange乘子的线段-线段法（砂浆法）施加裂纹面接触条件，线段-线段法优化了沿裂纹段的接触约束的实现，实际上是更精确地模拟了接触，该方法能获得优的收敛率，且可有效地避免裂纹面的相互嵌入。然而，引入了Lagrange乘子以后，不仅增加了系统的求解规模，而且在控制矩阵中出现了零主元，增加了方程的求解难度。为此，石路杨等[92]提出了XFEM中基于砂浆法的增广型Lagrange乘子法接触条件施加法，即采用增广型Lagrange乘子法（在Lagrange乘子场中增加罚函数项）解决控制矩阵零主元的问题，Lagrange乘子的存在也避免了罚函数法罚因子过大而引起方程的病态。

本章研究摩擦接触问题的XFEM，用基于砂浆法的增广型Lagrange乘子法描述裂纹面上的接触条件，分析了几种不同受力状态下的闭合裂纹问题，并通过数值结果验证了本章方法的适用性和有效性。