3.1　正向椭圆余弦波造波理论

3.1.1　正向椭圆余弦波

波浪由深水向浅水区域传播时，由于水深变浅使波浪发生变形，外形变为不对称，波能量集中于尖突的波峰，且波峰大大高于静水位，而波谷平坦且离静水位较近。对形状不变的这种非线性波应用雅克比椭圆余弦函数[3]来描述波面高程时被定义为椭圆余弦波。文中椭圆余弦波理论的主要参考文献来自Svendsen和Jonsson（1980）出版的文献[4]及Fenton于1990年发表的文献[5]，与椭圆余弦波相关的椭圆函数简介参见附录B。

图3.1所示为椭圆余弦波基本参数定义图，设波高为H、周期为T的椭圆余弦波在水深为h的水域沿x方向传播，其波面高程η（x，t）的表达式为

其中，cn（θ，m）为幅角θ和椭圆积分模数m的椭圆余弦。幅角θ为空间坐标x和时间t的综合参数，可由式（3.2）给出：

式（3.2）中，L为波浪传播方向x向的波长。

ηmin（＜0）为波谷高程，其表达式为

式（3.3）中，K（m）和E（m）分别为第一类和第二类椭圆积分。

椭圆积分模数m（0≤m＜1）为式（3.4）的解：

其中，Ur为Ursell数，它是体现波浪非线性特性与色散特性之比的一个重要参数。

椭圆余弦波的相速度可由式（3.5）计算得出。

式中，相速度c定义为c=L/T。函数A（m）为

由此可得到波长L的表达式：

3.1.2　正向椭圆余弦波的生成

为了确定造波机生成一列椭圆余弦波所需要的造波板运动位移，将造波板所有位置的运动速度与对应的波浪下水质点的速度进行匹配。对于长波，质点的水平速度沿水深总是均匀的，因此可以认为水质点的速度为沿水深平均的速度U（x，t），由此可得

式中：X（t）为推板式造波机的造波板运动位移。

对于永形波，根据其连续性可以通过下列表达式得到沿水深平均的速度：

其中，U（x，t）具有许多谐波，但这些谐波的相位被锁定，同时这些谐波的幅值在波高中所占相对比例也是固定的，因此依据造波板的速度可知：

式（3.10）是确定对应于长波生成的造波板运动轨迹的一般方程式。针对椭圆余弦波，首先利用式（3.4）和式（3.7）可以得到椭圆积分模数m。之后可获得其他相关参数，如E（m）、K（m）、A（m）、ηmin及L等。然后利用式（3.1）和式（3.10）可求得X（t）。为了获得符合实际情况的解，需要满足条件μ=h/L＜0.10。

现举例如下，设波浪的波高H=0.2m，周期T=2.3s，水深h=0.4m，图3.2所示为利用上述椭圆余弦波造波方法得到的波浪生成所需的造波板运动位移X（t）的时间序列。图3.3所示为造波板运动位移X（t）处的波面高程η（X（t），t）。