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1.2.1 什么是有限元法?
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法,是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具。有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟,利用简单而又相互作用的元素(即单元),用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。为了更好地理解有限元法,下面先看一下变截面杆件问题。
1. 变截面杆力学分析
有一承受载荷P的变截面杆,如图1-2所示,杆一端固定,另一端承受载荷P。以w1代表杆的上边宽度,w2代表杆的下边宽度,杆的厚度为t,长度为L,杆的弹性模量用E表示。现求当杆件承受载荷P时,沿杆长度方向上不同位置点变形的大小。在以下分析中,假设施加的载荷比杆的重量大得多,因此忽略杆的重量。
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图1-2 承受轴向载荷的变截面杆
分析:将变截面杆沿长度方向等分成4段,每段即为一个单元,截面的中点为节点,这样变截面杆用5个节点和4个单元来表示,如图1-3a所示。给定杆的模型中有4个独立的部分,每个部分(单元)的上、下横截面面积不同,为便于分析,将构成单元节点处的横截面的面积用上、下横截面的平均面积表示,模型如图1-3b所示。这样,先考虑横截面积为A、长度为l的杆件在外力F作用下构件的变形,如图1-4所示。
杆件的平均应力定义为每单位面积A上的所受的力:
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图1-3 分析模型
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图1-4 等截面杆等效弹簧
杆件的平均应变ε定义为每单位原始长度l的受力前后变化量Δl:
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在弹性区域内,应力和应变服从胡克定律:

联立方程式(1-1)、式(1-2)和式(1-3)有:
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方程式(1-4)和F=kx很相似。因此,受轴向力作用的等截面杆可以看作是一个弹簧,其等效刚度为
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题目中杆件的横截面面积在沿杆轴方向上是变化的。作为一次近似,可以将该杆看作是一系列受轴向载荷作用且具有不同横截面的构件。因此,该杆件可以看成是由4个弹簧串接起来组成的模型,如图1-5所示。根据方程(1-5),每个单元的弹性行为可以由相应的弹簧模型描述,即有如下方程:
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等效的弹簧单元的刚度为
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图1-5 将杆离散成节点和单元
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图1-6 节点受力图
假定力施加在各个节点上,图1-6描述了模型中节点1~5的受力情况。静力平衡条件要求每个节点上的力的总和为零,5个节点的平衡方程如下:

本例中,由于杆的上端固定,节点1的位移是零。方程组(1-8)中有4个未知的节点位移和一个未知的反作用力R1(节点1处),总共有5个未知量。为了在求解时考虑相同类型的未知量位移,可以利用已知的边界条件u1=0来取代第1行,得到只有未知位移的方程,求解出各节点位移。
设:w1=0.05m w2=0.025m t=0.003175m L=0.254m,P=4536N E=7.32e10Pa
杆在y方向(轴向)横截面面积为
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等效的弹簧单元刚度系数根据式(1-7)计算,结果见表1-1 。
表1-1 单元节点参数

方程组(1-8)求解结果如下:
各节点位移(单位:mm)为
u1=0.0000 u2=0.0260 u3=0.0560 u4=0.0915 u5=0.1349
各单元应力(单位:Pa)为

σ1=3.00×107σ2=3.46×107σ3=4.09×107σ4=5.00×107
为获得接近实际的求解,将变截面杆等分为8段,建立8单元9节点分析模型,分析结果为
节点位移(单位:mm)为
u1=0.0000 u2=0.0126 u3=0.0261 u4=0.0405 u5=0.0561
u6=0.0731 u7=0.0917 u8=0.1122 u9=0.1352
单元应力(单位:Pa)为
σ1=2.90×107σ2=3.10×107σ3=3.33×107σ4=3.60×107
σ5=3.91×107σ6=4.29×107σ7=4.74×107σ8=5.29×107
对变截面杆建立有限元模型,进行有限元仿真分析,结果如图1-7所示。

图1-7 仿真分析
有限元求解应变如图1-8所示。

图1-8 应变云图
有限元求解应力如图1-9所示。
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图1-9 应力云图
求解比对——节点位移(见表1-2)。
求解比对——单元应力(见表1-3)。
表1-2 节点位移
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表1-3 单元应力
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2. 变截面杆电学分析
变截面杆通电电流I,如图1-10所示。以w1代表杆的上边宽度,w2代表杆的下边宽度,杆的厚度为t,长度为L,杆的电阻率用ρ表示。分析沿杆长度方向上不同点电位。
已知:w1=0.05m w2=0.025m t=0.003175m L=0.254m I=10A ρ=2×10-7Ω/m
分析:模型化简与变截面杆的力学分析模型相同,如图1-11所示。
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图1-10 电流I通过的变截面杆
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图1-11 模型简化
杆件的电阻为
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联立式(1-11)、式(1-12)得

各节点电位为

各单元电流密度为

求解结果如下。
计算参数见表1-4。
表1-4 单元节点参数
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各节点电位(单位:mV)为
U1=0 U2=0.8 U3=1.8 U4=3.0 U5=4.4
各单元电流密度(单位:A/m2)为
J1=6.62×104J2=7.63×104J3=9.01×104J4=1.10×105
为获得接近实际的求解,将变截面杆等分为8段,建立8单元9节点分析模型,分析结果为如下。
节点电位(单位:mV)为
U1=0 U2=0.4 U3=0.8 U4=1.3 U5=1.8
U6=2.3 U7=2.8 U8=3.5 U9=4.3
单元电流密度(单位:A/m2)为
J1=6.21×104J2=6.62×104J3=7.09×104J4=7.63×105
J5=8.26×104J6=9.01×104J7=9.90×104J8=1.10×105
对变截面杆建立有限元模型,进行有限元仿真分析,结果如图1-12~图1-14所示。
节点电位如图1-12所示。
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图1-12 电位云图
电流密度矢量图如图1-13所示。

图1-13 电流密度矢量图
单元电流密度如图1-14所示。

图1-14 单元电流密度
求解比对——节点电位(见表1-5)。
求解比对——单元电流密度(见表1-6)。
表1-5 节点电位
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表1-6 单元电流密度
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3. 变截面杆有限元分析模型讨论
图1-15a、b分别为变截面杆有限元分析的力学和电学分析模型。

图1-15 分析模型
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力学与电学分析的数学表达式为X=kY,力学、电学参数比对见表1-7。
表1-7 力学、电学参数比对
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4. 几种物理场相应量的比较(见表1-8)
表1-8 几种物理场参数比对
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