![文化伟人代表作图释书系:几何原本](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/123/31634123/b_31634123.jpg)
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命题I.39
有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。
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设:ABC、DBC是以BC为底边在BC同侧面积相等的三角形。
求证:它们在两平行线间。
连接AD,那么:AD平行于BC。
假定:AD不平行于BC,过A点作AΕ平行于BC(命题I.31)。
连接ΕC。
因为BC是共用边,它们同底等高(命题I.37),那么:三角形ABC的面积等于三角形ΕBC的面积。
而ABC的面积等于DBC的面积,所以:DBC的面积也等于ΕBC的面积(公理I.1),那么大等于小,这是不可能的。
所以:AΕ不是BC的平行线。
同理:能证明除AD以外的其他线段不是BC的平行线。
所以:AD是BC的平行线。
所以:有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。
证完
注解
本命题的部分是命题I.37的逆命题,仅仅是部分,因为两个三角形ABC和三角形DBC有相同的边,即线段BC上的边。如果它们不是,那么AD将不能与BC平行,而是穿过其中点。
本命题应用在命题VI.2中。