1.3 显函数、隐函数、参数和矢量方程

首先来看一下NURBS曲线的数学定义：

这里，i是NURBS曲线的节点序号；k是NURBS曲线的阶数（Degree）；Ni，k（u）是B样条基函数；Pi是NURBS曲线的控制点矢量；wi是第i个控制点的权值。

这个公式看起来有些复杂，要充分理解它，需要具备一些数学知识。下面我们把这些知识分解开，循序渐进地来学习。

1.3.1 显函数、隐函数和参数方程

式（1.1）是一个NURBS曲线的方程式，它是一个参数方程，也是一个矢量方程。

什么是参数方程呢？我们都知道，在直角坐标系中，曲线的方程可以用函数y＝f（x）的形式来表示。例如，y＝x＋1是一条直线的方程。同时，曲线的方程可以用f（x，y）＝0来表示。例如，x2＋y2-4＝0是半径为2的圆的方程。用y＝f（x）形式表示的函数叫做显函数，而用f（x，y）＝0表示的函数叫做隐函数。由于这两种表示方法都与坐标系相关，随着坐标系的变换，曲线方程也不同，因此，在CAD系统中通常不使用这两种函数形式，而使用参数方程来表示。

参数方程的数学形式为：

一条曲线上的点的坐标（x，y，z）都是另一个参数u的函数，其中参数u在某一取值区间上取值，我们把这个取值区间叫做该曲线的参数域或定义域。u在定义域内每取一个数值，根据函数关系，就可以计算出一个与之相对应的空间点的坐标（x，y，z）。当u在定义域内变动时，可以计算出一系列点的坐标，把这些点连接起来，就可绘制出一条曲线。NURBS曲线的方程式（1.1）就是一个参数方程，曲线Q（u）是参数u的函数，当u在某一区间上变动取值时，计算机就可以根据方程计算出曲线坐标，并在坐标系中绘制出曲线。如图1.2所示，绿色的线条表示参数u的定义域，桔黄的线条是计算出的空间曲线，曲线Q（u）上的点与定义域中的参数u一一对应。

仔细观察方程式（1.1），先不考虑分母，只观察分子，它由3个部分组成：Ni，k（u）（红色部分），Pi（蓝色部分），wi（绿色部分）。式中并没有出现的形式，也就是说，没有出现曲线的坐标，那么曲线的坐标是如何计算出来的呢？

其实式（1.1）不仅是一个参数方程，还是一个矢量方程，坐标是隐藏在矢量中的。

1.3.2 矢量方程

在式（1.1）中，Pi是一个矢量，最终的计算结果Q（u）也是一个矢量。我们来回顾一下矢量代数和解析几何的部分内容。

矢量：既有大小又有方向的量，如图1.3中的矢量Q1和Q2。

矢量的和：两个矢量的和是一个新矢量，它满足平行四边形法则，是以原来两个矢量为邻边组成的平行四边形的对角线（如图1.4中的Q3）。

矢量的数乘：一个实数a与一个矢量Q1相乘，结果仍然是一个矢量，它的长度是矢量Q1的a倍，它的方向与原矢量Q1相同。

矢量的坐标：在图1.5中，矢量Q2由坐标系的原点O指向点A，点A的坐标为（x，y，z），我们注意到，一个点A可以确定一个矢量Q2，同样一个矢量Q2也确定一个点A，二者之间是一一对应的关系，因此可以把点A的坐标（XA，YA，ZA）叫做矢量Q2的坐标。

所以，一条曲线上的所有点的坐标都可以用从原点指向该点的矢量来表示，曲线方程可以用矢量方程来表示，只要计算出一系列的矢量，就可以确定坐标绘制出曲线。如图1.6所示，只要依据式（1.1）计算出Q（1）、Q（2）、……、Q（n）一系列矢量，就可以确定NURBS曲线Q（u）上系列点的坐标。

再一次观察式（1.1），计算结果Q（u）是一系列的矢量，等式右边只有Pi是矢量（Pi是NURBS曲线的控制点矢量，这些控制点矢量由用户在创建曲线时输入），用户使用（控制点曲线）指令创建曲线时，需要一系列控制点。

曲线的矢量方程：如图1.7所示为一条直线，1、2为直线上的两个点，P1和P2为其对应的矢量，r为点1和点2之间的距离，d为直线上任意一点P到点1的距离，Q（u）为点P对应的矢量，e为与直线平行的长度为1的单位矢量。

起点在点1，终点在点P的矢量为，根据矢量加法的平行四边形法则，有：

同理：

将以上两个方程消去e，则有

令，则式（1.3）可表示为：

式（1.4）的几何说明如图1.8所示。假设，采用几何作图法则可以做出。图1.9和图1.10分别是时的计算结果。

曲线Q（u）是参数u的函数，随着u取不同的值，可以算出曲线上所有的点。进一步，可以把式（1.4）表示为

很明显：。我们把式（1.5）用求和符号Σ来表示：

根据式（1.6）可以推测，假设这个直线方程可以推广到曲线，那么任一空间曲线的矢量方程可表示为

后面我们将明白，这个方程是用多项式表达空间曲线的矢量方程的一般形式，在式（1.7）中，函数fi（u）叫做基函数。推广到一般，曲线的矢量方程可表示为一些指定的矢量Pi和特定基函数的乘积的和。基函数的采用不是唯一的，可以有很多种形式，采用不同的基函数，曲线就具有不同的造型和性质。式（1.5）中，可以认为基函数f1（u）和f2（u）是矢量P1和P2的系数，结合图1.8～图1.10可以看出，基函数的几何意义就是使已知矢量乘以各自的系数，然后再求和矢量，结果就是所求的曲线。按照这样的直观几何意义来理解，我们就很容易理解后面要讨论的B样条曲线的方程式了。

到这里，我们已经能够理解式（1.1）中部分参数的含义了。下面将再接再厉，继续学习其中的参数及其含义。