1.2　课后习题详解

习题

1.1　用笛卡儿坐标形式（x＋yj）表示下列复数。

解：利用欧拉公式：和复平面性质

，有：

，

，

1.2　用极坐标形式（re^jθ，－π＜θ≤π）表示下列复数。

解：根据，有：

1.3　对下列每一个信号求P_∞和E_∞。

解：

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

1.4　设n＜－2和n＞4时x[n]＝0，对以下每个信号确定其值保证为零的n值。

解：

（a）x[n－3]＝0，n－3＜－2或n－3＞4，即

x[n－3]＝0，n＜1或n＞7

（b）x[n＋4]＝0，n＋4＜－2或n＋4＞4，即

x[n＋4]＝0，n＜－6或，n＞0

（c）x[－n]＝0，－n＜－2或－n＞4，即

x[－n]＝0，n＜－4或n＞2

（d）x[－n＋2]＝0，－n＋2＜－2或－n＋2＞4，即

x[－n＋2]＝0，n＜－2或n＞4

（e）x[－n－2]＝0，－n－2＜－2或－n－2＞4，即

x[－n－2]＝0，，n＜－6或n＞0

1.5　设t＜3时x(t)＝0，确定以下每个信号的值保证为零的t值。

解：（a）x（1－t）＝0，1－t＜3，即

x（1－t）＝0，t＞－2

（b）x（1－t）＋x（2－t）＝0，1－t＜3且2－t＜3，即

x（1－t）＋z（2－t）＝0，t＞－1

（c）x（1－t）x（2－t）＝0，1－t＜3或2－t＜3，即

x（1－t）x（2－t）＝0，t＞－2

（d）x（3t）＝0，3t＜3，即

x（3t）＝0，t＜1

（e）x（t／3）＝0，t／3＜3，即

x（t／3）＝0，t＜9

1.6　判断下列信号的周期性。

解：

（a）由于

对于－∞＜t＜∞，x₁(t)的值不具备重复性，所以x₁(t)不是周期信号。

（b）由于

所以x₂[n]也不具备周期性。

（c）由于

所以x₃[n]是基波周期为4的周期序列。

1.7　对以下每个信号求信号的偶部保证为零的所有自变量值。

解：

（a）

只有当|n|＞3时，

（b）

即对一切t，

（c）

由于

所以当|n|＜3及|n|→∞时，

（d），由于

所以只有当|t|→∞时，

1.8　将下列信号的实部表示成的形式，其中A，a，ω和都是实数，A＞0且－π＜≤π。

解：

（a），即

A＝2，a＝0，ω＝0，Φ＝π

（b）

即

（c）

即A＝1，a＝1，ω＝3，Φ＝π/2

（d）

即　　　　　　　　　　 A＝1，n＝2，ω＝100，Φ＝π/2

1.9　判断下列信号的周期性。若是周期的，给出它的基波周期。

解：

（a）

故x₁(t)为周期信号，基波周期

（b）

故x₂(t)不是周期信号。

（c）

，即

故x₃[n]是周期序列，基波周期N＝2。

（d）

即，故x₄[n]是周期序列，基波周期N＝10。

（e）

又

为无理数，故x₅[n]不是周期序列。

1.10　求信号的基波周期。

解：由于和都为周期信号，且ω₁＝10，ω₂＝4，ω₁:ω₂＝5:2＝m₁:m₂，故x(t)的基波周期为

1.11　求信号的基波周期。

解：对于，其为有理数，所以是周期信号。同样，中为有理数，故也是周期信号。又的基波周期N₁＝7，的基波周期N₂＝5，N₁与N₂的最小公倍数为35，所以x[n]的基波周期为N＝35。

1.12　考虑离散时间信号

试确定整数M和n₀的值，以使x[n]可表示为

解：

即M＝－1，n₀＝－3。

1.13　考虑连续时间信号

试对信号

计算E_∞值。

解：

1.14　考虑一个周期信号

周期为T＝2。这个信号的导数是“冲激串”（impu1se train）

周期仍为T＝2。可以证明

求A₁，t₁，A₂和t₂的值。

解：，x(t)的波形如图1-1所示，波形如图1-2所示。

图1-1　　　　　　　　　　　　图1-2

故A₁＝3，t₁＝0，A₂＝－3，t₂＝1

1.15　考虑一个系统S，其输入为x[n]，输出为y[n]，这个系统是经由系统S₁和S₂级联后得到的，S₁和S₂的输入-输出关系为

这里x₁[n]和x₂[n]都为输入信号。

（a）求系统S的输入-输出关系。

（b）若S₁和S₂的级联次序颠倒，即S₁在后，那么系统S的输入-输出关系会改变吗？

解：

（a）系统S可用框图表示，如图1-3所示。

图1-3

如图1-3所示，y₁[n]＝2x[n]＋4x[n－1]

（b）当S₁和S₂的级联次序颠倒时，系统S可用框图表示；如图1-4所示。

图1-4

由图1-4可知，

由此可见，S₁和S₂的级联次序颠倒不会改变系统S的输入-输出关系。

1.16　考虑一个离散时间系统，其输入为x[n]，输出为y[n]，系统的输入-输出关系为

（a）系统是无记忆的吗？

（b）当输入为Aδ[n]，A为任意实数或复数时，求系统输出。

（c）系统是可逆的吗？

解：

（a）因为，即系统在某一时刻的输出不仅与当前的输入有关，还与过去的输入有关，所以系统是记忆系统。

（b）

（c）设x[n]＝1，对所有n，则y[n]＝1×1＝1。若设x[n]＝－1，对所有n，则y[n]＝（－1）×（－1）＝1。由于有两个不同的输入对应同一个输出，故系统不可逆。

1.17　考虑一个连续时间系统，其输入x(t)和输出y(t)的关系为

（a）该系统是因果的吗？

（b）该系统是线性的吗？

解：

（a）令可知。这说明t＝－π时刻的响应要由未来t＝0时刻的激励决定，故该系统是非因果的。

（b）设

令，则

故该系统是线性的。

1.18　考虑一个离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系为

其中，n₀为某一有限正整数。

（a）系统是线性的吗？

（b）系统是时不变的吗？

（c）若x[n]为有界且界定为一有限整数B，即对所有的n有时，可以证明y[n]是被界定到某一有限数C，因此可以得出该系统是稳定的。试用B和n₀来表示C。

解：

（a）设

故系统是线性的。

（b）令，则

故系统是时不变的。

（c）由题设知，当时，.又

故

1.19　判定下列输入-输出关系的系统是否具有线性性质、时不变性质，或两者俱有。

解：

（a）设，

令，则

故该系统是线性的。

令，则

故该系统是时变的。

（b）设

令则

故该系统是非线性的。

令，则

故该系统是时不变的。

（c）设

令，则

故该系统是线性的。

令，则

故该系统是时不变的。

（d）

设

令，则

故该系统是线性的。

令，则

故该系统是时变的。

1.20　一个连续时间线性系统S的输入为x(t)，输出为y(t)，有下面的输入-输出关系：

（a）若，求系统S的输出y₁（t.）。

（b）若，求系统S的输出y₂(t)。

解：

（a）

，

则

（b）

则

基本题

1.21　连续时间信号x(t)如图1-5所示，画出下列信号并进行标注。

图1-5

解：

（a）x（t－1）即信号图像相对原信号左移了一个单位。

图1-6（a）

（b）x（2－t）＝x[－（t－2）]，可知是原信号翻转后的平移。

图1-6（b）

（c），可将原信号压缩2倍后再平移二分之一个单位，如图1-6（c）所示。

图1-6（c）

（d），可将原信号放大2倍后再平移8个单位，如图1-6（d）所示。

图1-6（d）

（e）信号x(t)乘上u(t)之后，会保留t＞0的部分。

图1-6（e）

（f）即是对x(t)在－3/2和3/2点处的抽样。

图1-6（f）

1.22　离散时间信号x[n]如图1-7所示，画出下列信号并进行标注

图1-7

解：

（a），信号波形如图1-8（a）所示。

图1-8（a）

（b），信号波形如图1-8（b）所示。

图1-8（b）

（c），信号波形如图1-8（c）所示。

图1-8（c）

（d），信号波形如图1-8（d）所示。

图1-8（d）

（e），信号波形如图1-8（e）所示。

　　

图1-8（e）

（f）x，信号波形如图1-8（f）所示。

图1-8（f）

（g），信号波形如图1-8（g）所示。

图1-8（g）

（h），信号波形如图1-8（h）所示。

图1-8（h）

1.23　确定并画出图1-9所示信号的奇部和偶部，并进行标注。

图1-9

解：求解信号的奇部和偶部公式如下

直接代入可以求出三个信号的奇、偶部图像。

（a）

图1-10（a）

（b）

图1-10（b）

（c）

图1-10（c）

1.24　确定并画出图1-11所示信号的奇部和偶部，并进行标注。

图1-11

解：此题解题步骤同题1.23。

（a）

（1）

图1-12

（2）

图1-12

（3）

图1-12

（b）　　　　　　　

（1）

图1-13

（2）

图1-13

（3）

图1-13

（c）

（1）

图1-14

（2）

图1-14

（3）

图1-14

1.25　判定下列连续时间信号的周期性；若是周期的，确定它的基波周期。

解：

（a）x(t)是周期的。因为＝4，所以。

（b）x(t)是周期的。因为＝7π，所以

是周期的。因为＝4，所以

故x(t)是周期的，且周期为

故x(t)是非周期的。

（f）x(t)是周期的。因为

令2T＝k＝1，所以周期。

1.26　判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定它的基波周期。

解：

（a），故x[n]是周期的，基波周期N＝7。

（b）因为，不是一个有理数。所以x[n]是非周期的。

（c）。若（k为整数）对所有的n成立，即对所有n成立，则必须有N²和2N均为16的整数倍，此时，故x[n]是周期的，基波周期N＝8。

（d）

故x[n]是周期的，基波周期N＝8。

（e）

故x[n]是周期的，基波周期为的最小公倍数，即N＝16。

1.27　这一章介绍了系统的几个一般性质，这就是一个系统可能是或不是：

（1）无记忆的；（2）时不变的；（3）线性的；（4）因果的；（5）稳定的。

对以下连续时间系统确定哪些性质成立，哪些性质不成立，并陈述你的理由。下例中y(t)和x(t)分别为系统的输出和输入。

解：

（a）

（1）由于即不但取决于x(t)的将来值，还与x(t)的过去值有关，故系统是记忆系统。

（2）

故系统是时变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）因为t＜1时，y(t)与x(t)的将来值有关，故系统是非因果的。

（5）设正数且有限），对所有t，则

故系统是稳定的。

（b）

（1）由于y(t)只与当前的x(t)有关，故系统是无记忆的。

（2）令则

故系统是时变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）因为y(t)只与当前的x(t)有关，故系统是因果的。

（5）设为有限大小的正数），对所有y(t)都有故系统是稳定的。

（c）

（1）由于y(t)由到2t时刻的x(t)决定，即y(t)取决于x(t)由过去到未来2t时刻的值，故系统是记忆的，也是非因果的。

（2）令则

故系统是时变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）系统是非因果的。

（5）设（M为有限大小的正数），对所有x(t)是有界的，如x(t)＝是有界的，但不是有界的，故系统是不稳定的。

（d）

（1）由于即y(t)与x(t)的当前值及过去值有关，故系统是记忆的。

（2）令则

故系统是时变的。

（3）

令

故系统是线性的。

（4）y(t)只与x(t)的过去值及当前值有关，与未来值无关，故系统是因果的。

（5）当x(t)有界时，y(t)也是有界的，故系统是稳定的。

（e）

（1）的过去值有关，故系统是记忆的。

（2）设则

故系统是时不变的。

（3）由系统方程可知，该系统的输出值为正，即,设

若，则显然故系统是非线性的。

（4）当x(t)＜0时，y(t)＜0，故系统是因果的。

（5）当为有限大小的正数）时，对所有y(t)都有故系统是稳定的。

（f）

（1）由于y（3）＝x（1），即y(t)取决于过去时刻的x(t)。故系统是记忆的。

（2）设则

故系统是时变的。

（3）设

令则

故系统是线性的。

（4），即t＝－1时刻的输出取决于未来时刻的输入，故系统是非因果的。

（5）设（M为有限大小的正数），对所有t，则

故系统是稳定的。

（g）

（1）由于，即y(t)与过去的输入有关，故系统是记忆的。

（2），则

故系统是时不变的。

（3）

故系统是线性的。

（4），由于可正可负，即既可表示t之前的时间，也可表示t之后的时间，所以系统是非因果的。

（5）当有界时，无界，故系统不稳定。

1.28　对以下离散时间系统确定习题1.27中所列各个性质哪些成立，哪些不成立，并陈述你的理由。下例中y[n]和x[n]分别为系统的输出和输入。

解：

（a）

（1）由于，即输出y[n]与过去的输入x[n]有关，故系统是记忆的。

（2）设，则

故系统是时变的。

（3）设

令，则

故系统是线性的。

（4）由于即输出的将来值有关，故系统是非因果的。

（5）当x[n]有界时，y[n]也是有界的，故系统是稳定的。

（b）

（1）由于，即输出y[n]取决于过去的输入x[n]，故系统是记忆的。

（2）设，则

故系统是时不变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）由于y[n]不取决于未来的x[n]，故系统是因果的。

（5）当x[n]有界时，y[n]也是有界的，故系统是稳定的。

（c）y[n]＝nx[n]

（1）可见任何时刻的输出只与当时的输入有关，故系统是无记忆的和因果的。

（2）

故系统是时变的。

（3）设。

故系统是线性的。

（4）当为有界输入时，，即输出无界，故系统不稳定。

（d）

（1），即输出与过去的输入有关，故系统是记忆的。

（2）

故系统是时变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）由于，即y[n]与未来的x[n]有关，故系统是非因果的。

（5）当x[n]有界时，y[n]也是有界的，故系统是稳定的。

（e）

（1）由于y[n]只与当前及未来的x[n]有关，故系统是有记忆的，且是非因果的。

（2）

故系统是时变的。

（3）

令，则

故系统是线性的。

（4）当x[n]有界时，y[n]也是有界的，故系统是稳定的。

（f）

与（e）中不同的是y[n]仅与当时的x[n]有关，类似分析可知,该系统是无记忆的、时变的、线性的、因果的、稳定的。

（g）

（1）由于即输出与过去和未来的输入都有关，故系统是记忆的、非因果的。

（2）

，故系统是时变的。

（3）

故系统是线性的。

（4）当x[n]有界时，y[n]也是有界的，故系统是稳定的。

1.29　（a）证明输入x[n]和输出y[n]的关系为的离散时间系统是可加的。若其关系变为仍是可加的吗？提示：此题中不要假设x[n]为实数。

（b）本章中讨论到一个系统的线性性质等效为既具有可加性又具有齐次性，试对下列系统确定它们的可加性和/或齐次性。对每一性质若成立请给出证明；若不成立请给出一个反例。

证明：

（a）设

故系统是可加的。若系统输入-输出关系变为，则系统仍具有可加性。

，系统是齐次的。因当时，则有

但此系统是不可加的。因当输入时，则有

故系统是齐次的。因当时，

但此系统是不可加的。因当输入

1.30　判定下列系统的可逆性。若是，求其逆系统；若不是，请找到两个输入信号，其输出是相同的。

解：

（a）是可逆的，其逆系统为

（b）y(t)＝cos[x(t)]不可逆。因为对x(t)和[x(t)＋2πk]两个信号都有相同的输出，不能实现逆系统。

（c）y[n]＝nx[n]不可逆。因为对[n]和2[n]两个信号都有相同的输出y[n]＝0，不能实现逆系统。

（d）

（e）

（f）不可逆。因为当x[n]＝1和－1时，都有y[n]＝1。

（g）是可逆的，其逆系统为

（h）是可逆的，其逆系统为

（i）是可逆的，其逆系统为。

（j）不可逆。因为当x(t)为任意常数时，都有y(t)＝0。

（k）不可逆。因为当x[n]＝u[n]和u[n]＋[n]时，都有y[n]＝u[n]。

（l）是可逆的，其逆系统为

（m）不可逆。只要两个不同序列x₁[n]和x₂[n]的偶数位相同，就会产生相同的输出。

是可逆的，其逆系统为

1.31　在本题中将要说明线性时不变性质的最重要结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应，或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。本书后续绝大部分内容都是利用这一点来建立分析与综合线性时不变系统的一些结果和方法的。

（a）考虑一个线性时不变系统，它对示于图1-15（a）的信号x₁(t)的响应y₁(t)示于图1-15（b）中，确定并画出该系统对示于图1-15（c）的信号x₂(t)的响应。

（b）确定并画出上述（a）中的系统对示于图1-15（d）的信号x₃(t)的响应。

图1-15

解：此题利用LTI系统的线性特性和时不变特性求解。

（a）由于x₂(t)＝x₁(t)＝x₁（t－2），所以y₂(t)＝y₁(t)－y₁（t－2）。Y₂(t)的波形如图1-15（e）所示。

（b）因为x₃(t)＝x₁(t)＋x₁（t＋1），所以y₃(t)＝y₁（t＋1）y₃(t)的波形如图1-15（f）所示。

图1-15

深入题

1.32　设x(t)是一个连续时间信号，并令信号y₁(t)代表x(t)的一种加速形式，即信号的持续期减了一半；而y₂(t)代表x(t)的一种减慢形式，即信号的持续期加倍。考虑以下说法：

（1）若x(t)是周期的，则y₁(t)也是周期的。

（2）若y₁(t)是周期的，则x(t)也是周期的。

（3）若x(t)是周期的，则y₂(t)也是周期的。

（4）若y₂(t)是周期的，则x(t)也是周期的。

对于以上每一种说法判断是否对。若对，确定这两个信号基波周期之间的关系；若不对，给出一个反例。

解：每一种说法判断都对。

（1）x(t)的周期为T，则y₁(t)的周期为T/2.

（2）y₁(t)的周期为T,则x(t)的周期为2T.

（3）x(t)的周期为T，则y₂(t)的周期为2T.

（4）y₂(t)的周期为T，则x(t)的周期为T/2.

1.33　设x[n]是一个离散时间信号，并令

信号y₁[n]和y₂[n]分别代表x[n]的一种加速和减慢形式。然而，应该注意在离散时间下的加速和减慢与连续时间下相比有一些细微的差别。考虑以下说法：

（1）若x[n]是周期的，则y₁[n]也是周期的。

（2）若y₁[n]是周期的，则x[n]也是周期的。

（3）若x[n]是周期的，则y₂[n]也是周期的。

（4）若y₂[n]是周期的，则x[n]也是周期的。

对以上每一种说法判断是否对。若对，确定这两个信号基波周期之间的关系；若不对，给出一个反例。

解：

（1）对。，，其中。

（2）不对。y₁[n]是周期的，并不能说明x[n]也是周期的。令，其中

令，y₁[n]是周期的，而x[n]不是周期的。

（3）对。，，其中。

（4）对。，，其中。

1.34　在本题中要研究奇偶信号的几个性质。

（a）证明：若x[n]是一个奇信号，则

（b）若x₁[n]是一个奇信号，x₂[n]是一个偶信号，证明：x₁[n]x₂[n]是一个奇信号

（c）x[n]为一个任意信号，其偶部和奇部分别记为

和

证明：

（d）虽然以上（a）至（c）都是针对离散时间信号的，相类似的性质对连续时间信号也成立，为此证明：

其中x₁(t)和x₂(t)分别为x(t)的偶部和奇部。

证明：

（a）

若x（n）为奇信号，则，因此

命题得证。

（b）令，则有

因此y（n）＝x₁[n]x₂[n]是一个奇信号，命题得证。

（c）

由（b）中的结论可知是一个奇信号，又由（a）中的结论可知，因此有

命题得证。

（d）

因为是奇信号，则，因此

1.35　考虑周期离散时间指数时间信号

证明该信号的基波周期是

其中gcd（m，N）是m和N的最大公约数（greatest common divisor），也就是将m和N都能约成整数的最大整数，例如

注意：若m，N无公因子，则N₀＝N₀

证明：需找一个最小的N₀使得。

若N₀必须为整数，则N必须是m/k的倍数，且m/k必须是整数。

因此m/k是m和N的公约数。若要得到N₀的最小值，m/k应是m和N的最大公约数

命题得证。

1.36　设x(t)是连续时间复指数信号

基波频率为ω₀，基波周期

将x(t)取等间隔样本，得到一个离散时间信号

（a）证明：仅当T/T₀为一个有理数，x[n]才是周期的，也就是说，仅当采样间隔的某一倍数是x(t)周期的倍数时，x[n]才是周期的。

（b）假设x[n]是周期的，即有

　

其中P和q都是整数。x[n]的基波周期和基波频率是什么？将基波频率表示成w₀T的分式。

（c）仍假设T/T₀满足式（P1.36-1），确定需要多少个x(t)的周期才能得到x[n]的一个周期的样本。

解：

（a）证明：若x[n]是周期的，则。

故有

即

为一个有理数

命题得证。

（b）若，则，基波周期是，基波频率为

（c）需要个周期x(t)才能得到x[n]的一个周期的样本。

1.37　很多通信系统应用中的一个重要的概念是两个信号之间的相关（corre1ation）。在第2章的习题中将更多地提到这一问题，并给出一些实际应用。现在，我们只对相关函数及其有关性质进行简单介绍。设x(t)和y(t)是两个信号，相关函数（corre1ation function）定义为

函数φ_∞(t)通常称为信号x(t)的自相关函数（autocorre1ation function），而φ_∞(t)则称为互相关函数（cross-corre1ation function）。

（a）φ_∞(t)和φ_∞(t)之间是什么关系？

（b）φ_∞(t)的奇部。

（c）假设将φ_∞(t)和φ_∞(t)用φ_∞(t)来表示

解：

（a）由题目中的定义可知，

（b）由（a）可知，表明是实函数，故其奇部为0。

（c），

1.38　本题将讨论单位冲激函数的几个性质：

（a）证明

提示：考察δ(t)，如图1-16所示。

（b）1.4节将连续时间单位冲激定义成信号δ_Δ(t)的极限，现在根据考察δ_Δ(t)的性质来定义δ(t)的几性质。例如，因为信号

收敛于单位阶跃

　

于是就可通过如下方程：

来解释δ(t)，或者把δ(t)看成u(t)的导数。

这种讨论方式很重要，因为事实上我们是想通过它的性质而不是给出在每一t时的值来定义δ(t)的。第2章将给出单位冲激行为的一种很简单的特性，而这个特性在线性时不变系统的研究中是极其有用的。然而，目前重点关注应用单位冲激的重要概念是为了明白它是如何表现的。为此，考虑图1-16中的6个信号，证明：其中每一个信号随Δ→0时的“表现都像一个冲激”，条件是如果令

那么

在每一种情况下，画出信号，并给以标注。注意，

因此，定义δ(t)或把δ(t)想成t－0时为零，t＝0时为无穷大是不够的，而宁肯用一些性质来定义冲激，诸如式（P1.38-1）那样的性质。2.5节将定义称为奇异函数（singu1arity function）的一类信号，而这些信号都是与单位冲激有关的，而且都是用它们的性质而不是它们的值来定义的。

图1-16

解：

（a）由可得

因此有

（b）每个信号如图1-17所示：

图1-17

1.39　u(t)，δ(t)及其他奇异函数在线性时不变系统的研究中所起的作用是一种物理现象理想化的作用。我们将会看到，利用这些理想化会使这样的系统得到一种极其重要而又非常简单的表示。然而，在应用奇异函数时要特别小心。尤其是必须记住它们是理想化了的。因此，每当利用它们来完成某一计算时，都隐含着假设：这个计算所代表的是对理想化了的信号特征的精确描述。为了说明这一点，考虑下式：

　　　　　　　　

该式基于如下观察：

　　　　　　　　　

将这一关系取极限，就可得到式（P1.39-1）所给出的理想化关系。然而，更仔细地考虑式（P1.39-2）的导出，就会发现该式真正有意义的条件是t＝0时x(t)是连续的；否则，对于小的t，就不会有x(t)≈x(0)。为了使这一点更为清楚，看看单位阶跃信号u(t)。由式（1.70）可知，t＜0时u(t)＝0，t＞0时u(t)＝1，但是在t＝0，它的值不确定，注意，对所有的（由习题1.38（b）所得）。只要利用u(t)进行的计算不依赖于对u(0)的特定选取，u(0)不确定这一点就不会带来特别的麻烦例如，若f(t)是一个在t＝0时连续的信号，那么

的值就与u(0)的选择无关。另一方面，u(0)无定义这一点是有意义的，它意味着涉及奇异函数的某些计算是没有定义的。考虑试图对乘积u(t)δ(t)定义一个值。为了看出这是不能定义的，只需证明

但是

一般来说，只要这些信号不包括位置重合的奇异点（不连续点、冲激或2.5节将介绍的其他奇异点），定义两个信号的乘积不会有任何困难。当这些奇异点的位置重合时，乘积就没有定义。作为一个例子，证明

与u(t)是恒等的。也就是说，当t＜0时它为零；当t＞0时它等于1，而在t＝0时它无定义。

证明：由于

又有

当t＜0时,,

当t＞0时,

当t＝0时,无定义。因此

1.40　（a）证明如果一个系统无论是可加的还是齐次的，它都有这个性质：若输入恒为零，那么输出也恒为零。

（b）确定一个系统（无论是连续时间的还是离散时间的），它既不可加，又不齐次；但当输入恒为零时，它有零的输出。

（c）根据（a），你能得出：若一个线性系统的输入在连续时间情况下，在t₁到t₂之间为零，或者在离散时间情况下，在n₁到n₂之间为零，那么在同样的时间间隔内输出也必须为零的结论吗？为什么？

解：

（a）若一个系统是可加的，则有

若一个系统是齐次的，则有

（b）既不可加，又不齐次；但当输入恒为零时，它有零的输出。

（c）不能。例如，，则当t＞1时x(t)＝0,但y(t)＝1.

1.41　考虑一个系统S，其输入x[n]与输出y[n]的关系为

（a）若对所有的n，g[n]＝1，证明S是时不变的。

（b）若g[n]＝n，证明S不是时不变的。

（c）若g[n]＝1＋（－1）ⁿ，证明S是时不变的。

解：

（a）由于，因此S是时不变的。

（b）由于,则，因此S不是时不变的。

（c）由于,因此S是时不变的。

1.42　（a）下列说法是对还是错？说明理由。

两个线性时不变系统的级联还是一个线性时不变系统。

（b）下列说法是对还是错？说明理由。

两个非线性系统的级联还是非线性的。

（c）考虑具有下列输入-输出关系的三个系统：

假设这三个系统按图1-18级联的，求整个系统的输入-输出关系。它是线性的吗？是时不变的吗？

图1-18

答:

（a）对。若两个线性时不变系统S₁和S₂是级联的，假设x₁(t)和x₂(t)是S₁的输入，y₁(t)和y₂(t)相应是S₁的输出。同样，假设y₁(t)和y₂(t)是S₁的输入，z₁(t)和z₂(t)相应是S₁的输出。

因为系统都是线性的，则有

因此有

故两个线性时不变系统的级联是线性的。

因为是时不变的，有

则有

故两个线性时不变系统的级联是时不变的。

（b）不对。令，它们是两个非线性系统，两个系统级联后得到，是线性的。

（c）对。设系统1的输出为u（n），系统2的输出为z(t)，则有

故这个系统是线性时不变的。

1.43　（a）有一个时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)，证明：若x(t)是周期的，周期为T，则y(t)也是周期的，周期为T。同时证明在离散时间情况下也有同样结论。

（b）给出一个时不变系统的例子，在输入x(t)为非周期时，输出y(t)是周期的。

解：

（a）由题意有因为S是时不变的，则有

若x(t)是周期为T的周期函数，，则有

故有y(t)也是周期为T的周期函数。同理可证，离散时间函数也有同样的结论。

（b）令,。其中输入为非周期信号，输出为周期信号。

1.44　（a）证明对连续时间线性系统而言，其因果性就等效于下面的说法：对任何t₀和任意输入x(t)，若t＜t₀时x(t)为零，则对应的输出y(t)在t＜t₀时也必定为零。

（b）找出一个非线性系统，它满足上面的条件，但不是因果的。

（c）找出一个非线性系统，它是因果的但不满足上述条件。

（d）证明一个离散时间线性系统的可逆性就等效于下面说法：

对所有的n都产生y[n]＝0的唯一输入是对所有的n有x[n]＝0。对连续时间线性系统，类似的说法也成立。

（e）找出一个非线性系统，它满足（d）中的条件，但不是可逆的。

解：

（a）假设若t＜t₀时x(t)为零，对应的输出y(t)在t＜t₀时也为零，则这个系统是因果性的。

有任意信号x₁(t),假设另一信号x₂(t)，在t＜t₀时，x₁(t)＝x₂(t)，

由于系统是线性的，则有

因为，则，这表明即系统输出不受

的系统输入的影响，因此系统是因果性的。

假设系统是因果性的，则需证明对任何t₀和任意输入x(t)，若t＜t₀时x(t)为零，则对应的输出y(t)在t＜t₀时也必定为零。

设在信号x(t)＝0，令，因为系统是线性的，x(t)的输出为。

因为系统是因果性的，意味着，因此

（b）令，若t＜t₀时x(t)为零，则对应的输出y(t)在t＜t₀时也为零，但它不是因果的，也不是线性的。

（c）令,它是因果的,非线性系统，但不满足（a）中的条件。

（d）假设一个系统是可逆的，要证明对所有的n都产生y[n]＝0的唯一输入是对所有的n有x[n]＝0。

有

由于系统是线性的，则有

因为上面两个等式中输入不变，我们需要，故有。

由于系统是可逆的，只有输入为时，才有输出。

对所有的n都产生y[n]＝0的唯一输入是对所有的n有x[n]＝0。要证明系统是可逆的

假设

由于系统是线形的，则有

由假设可知，因此每一个输入只能有唯一一个输出，即系统是可逆的。

（e）,它是非线性的，满足（d）中的条件，但不是可逆的。

1.45　在习题1.37中介绍了相关函数的概念。在实践中往往重要的是计算相关函数&h(t)，其中h(t)是一个固定的已知函数，而X(t)可能是任何其他信号。现在要设计一个系统S其输入为x(t)，输出为φ_xh(t)。

（a）系统是线性的吗？是时不变的吗？是因果的吗？为什么？

（b）如果输出的是φ_xh(t)而不是φ_xh(t)，（a）中的答案有任何变化吗？

解：

（a）

令，相应系统输出为

因此系统是线性的。

令，相应系统输出为

显然，，因此系统不是时不变的。

由于系统在任一时刻的输出都取决于输入的未来值，因此系统不是因果性的。

（b）系统是线性的,时不变的,不是因果的。

1.46　考虑图1-19的反馈系统，假设n＜0时y[n]＝0。

（a）当x[n]＝$[n]时，画出输出图形。

（b）当x[n]＝u[n]时，画出输出图形。

图1-19

解：输出图形如下图1-20所示

图1-20

1.47　（a）设S为一个增量线性系统，x₁[n]为任一输入信号，当x₁[n]输入到S时其相应的输出为y₁[n]。现在考虑图1-21（a）的系统，证明该系统是线性的。并且事实上x[n]和y[n]之间的总输入-输出关系与x₁[n]的选取无关。

（b）利用（a）所得的结果，证明S可以用图1-23来表示。

（c）下面哪个系统是增量线性的？为什么？如果某一系统是增量线性的，请将线性系统L和零输入响应y₀[n]或y₀(t)鉴别出来，表示成图1-23的形式。

（iv）示于图1-21（b）的系统。

（v）示于图1-21（c）的系统。

（d）假设一个特定的增量线性系统如图1-23所示，L记为线性系统，y₀[n]记为零输入响应。证明：当且仅当L是时不变系统和y₀[n]是常数时，S才是时不变的。

图1-21

证明：

（a）

故该系统是线性的。并且x[n]和y[n]之间的总输入输出关系与x₁[n]的选取无关。

（b）若对任一n,有x₁[n]＝0，则y₁[n]是零输入响应y₀[n]，S的方框图如下图1-22，可以用图1-23来表示

图1-22

图1-23

（c）①增量线性系统

②增量线性系统

③非增量线性系统

令，则有

令，则有

显然，故系统是非增量线性的。

④增量线性系统。及

⑤增量线性系统。及

数学复习

复数z可以用几种方法来表示。z的笛卡儿坐标形式为

其中|，x和y都是实数，且分别称为2的实部和虚部。正如早先已指出过的，也常用下列符号来表示复数的实部和虚部：

复数z也可以用极坐标形式表示为

其中r＞0是z的模（magnitude），θ是z的相角（ang1e）或相位（phase）。它们也经常写成

这两种复数表示法之间的关系可以根据欧拉公式

图1-24

来确定，也可以将z图示在复平面上来确定，如图1-24所示。图中是坐标轴的水平轴，是其垂直轴。对于这种图形表示来说，x和y就是z的笛卡儿坐标，而r和θ就是它的极坐标。

1.48　设z₁是一个复数，其极坐标是（r₀，θ₀），笛卡儿坐标是（x₀，y₀）。求下列复数用x₀和y₀的笛卡儿坐标表示式，当r₀＝2，θ₀＝π/4和r₀＝2，θ₀＝π/2时，在复数平面上标出点z₀，z₁，z₂，z₃，z₄和z₅，并示出每一点的实部和虚部。

复数平面上表示如图1-25所示。

图1-25

1.49　将下列复数用极坐标表示，并在复平面上画出它们，指出每个数的模和相角。

解：

复数平面上表示如图1-26所示。

图1-26

1.50　（a）利用欧拉公式或图1-24求x和y关于r和θ的表示式。

（b）求r和θ关于x和y的表示式。

（c）若仅给出r和tanθ，能唯一确定x和y吗？为什么？

解：

若r＝0,则θ无定义，因为θ和θ＋2m的结果相同，故θ不是唯一的。

（c）,故复数是 ，不能唯一确定x和y。

1.51　利用欧拉公式，导出下列关系。

解：

（a）有；

将两式相加，得到

（b）将（a）中的前两个式子相减，得到

（c）

令，则有

令，则有

将上面两式相加，得到

（d）由（a）可得

将两式相减得到

（e）由（b）可得

1.52　设z是一个复变量，即

z的复数共轭（comp1ex conjugate）是

试导出下列关系式，其中z₁，z₂，和z₃都是任意复数。

解：

（f）当

当

（g）时，

（h）由（c）可得

由（g）可得

1.53　试导出下列关系式，其中z₁，z₂，和z₃都是任意复数。

解：

（b）令，则有

（e）因为，由三角形不等式得

（f）

（g）由于和，则有

1.54　本题所提到的这些关系式在全书的很多场合都会用到。

（a）证明下面的表示式成立：

该式常称为有限项和公式（finite sum formu1a）。

（b）证明：若|a|＜1，则

该式常称无限项和公式（infinite sum formu1a）。

（e）证明：若|α|＜1，则

（d）假设|α|＜1，求

解：

（a）时，显然有

时，

因此得到，命题得证。

（b）时

由前面得到的结论可知。

（c）对（b）中的等式两边求导，得到

（d）时，。

1.55　利用习题1.54的结果，求下列各和式，并将结果用笛尔儿坐标表示。

解：

（a）求和式为

（b）求和式为

（c）求和式为

（d）求和式为

（e）求和式为

（f）求和式为

1.56　求下列各积分值，并将结果用笛尔儿坐标表示。

解：

（a）积分值为

（b）积分值为

（c）积分值为

（d）积分值为

（e）积分值为

（f）积分值为