第9章　交　换

1．王五有4千克猪肉却没有白菜，赵六有4千克白菜却没有猪肉。王五总是以1：1的比例消费猪肉和白菜，而赵六则认为猪肉和白菜一样受用。

（1）在埃奇沃思框图里，画出王五、赵六的偏好曲线以及他们的初始分配，并标出所有的帕累托最优分配。

（2）如果王五、赵六的交换达到竞争均衡，白菜和猪肉的均衡价格比为多少？

解：（1）因王五总是以1︰1的比例消费猪肉和白菜，因此对王五而言，猪肉和白菜是1：1完全互补品；因为赵六认为猪肉和白菜一样受用，因此对赵六而言，猪肉和白菜是1︰1完全替代品。二人的偏好以及初始禀赋如图9-7所示。

图9-7

（2）由图9-6可知，达到竞争均衡时，王五与赵六必然都消费等量的猪肉和白菜。因为赵六在均衡时消费两种商品，而且两种商品为1：1完全替代品，因此白菜和猪肉的均衡价格比必然为1：1。

2．在一个纯贸易经济中，只有两个消费者和两种商品。在某一帕累托最优分配中，两人都消费两种商品，已知甲的两种商品的边际替代率是2，乙的边际替代率是多少？

答：处于交换的帕累托最优时，两消费者的边际替代率相等，因此乙的边际替代率也是2。

3．张三、李四共有4千克猪肉、4千克白菜。他们的效用函数均为，其中，、分别为猪肉及白菜的重量。在埃奇沃思框图里画出他们的偏好曲线，并表示出所有的帕累托最优分配。

答：对张三和李四而言，他们只在意猪肉和白菜中更大量的消费种类，因此只有两个顶点分配使得他们达到帕累托最优，而在其余所有点上都存在帕累托改善——通过改变配置使其向两个顶点移动。张三和李四的偏好及帕累托最优如图9-8所示。

图9-8　张三和李四的偏好及帕累托最优

4．康康最喜欢每天吃3顿饭睡8小时觉。他的无差异曲线是以为中心的同心圆。他妻子则认为4顿饭、6小时睡觉最为健康。任何偏离这一理想的安排都不利于健康，偏离越大，则越糟糕。她对偏好的度量为，其中，为吃饭顿数，为睡觉时数。

（1）画一些康康及其妻子的无差异曲线。用阴影表示夫妇俩都认为比吃4顿饭、睡7小时觉更好的安排。

（2）在某些组合点上，任何一点偏离不是使康康不高兴，就是使他妻子不高兴。我们也许可以称这些点为“对峙点”，画出所有“对峙点”的轨迹。

答：康康的无差异曲线是以为中心的同心圆，妻子的无差异曲线是以为中心的同心正方形。对峙点是由位于和之间的所有无差别曲线的的切点组成的线段。二人的无差异曲线与对峙点轨迹如图9-9所示。

图9-9

5．马虎对两种商品的偏好呈典型的平滑的凸无差异曲线，而严板的无差异曲线则呈L形（完全互补品）。试在埃奇沃思框图里画出该经济的帕累托集。

答：因为两种商品对于严板是完全互补品，因此帕累托均衡时严板必然以固定比例消费两种商品，因此契约曲线应为从严板的原点出发的一条射线，与方框图的边界交点即为契约曲线的另一端点。经济的帕累托集如图9-10所示。线段是帕累托集。

图9-10　帕累托集

6．牛郎有7担米，没有布；而织女有1担米4丈布。牛郎的效用函数为，织女的效用函数为，其中，和分别代表米和布的量，和分别代表织女和牛郎。在埃奇沃思框图里描绘出这一贸易经济，并画出帕累托最优分配的轨迹和契约曲线。

解：帕累托集为折线，契约曲线为线段。点是两人的初始配置。如图9-11所示。

图9-11　最优分配的轨迹和契约曲线

7．牛郎每小时可生产10千克米，或织3尺布。织女每小时生产6千克米，或织2尺布。

（1）假定牛郎和织女每天工作10小时，分别画出他们每天的生产可能性前沿。

（2）牛郎的米—布边际转换率为多少？织女的米—布边际转换率为多少？

（3）有情人终成良缘！画出牛郎织女共同的生产可能性前沿。凡要种米，谁先去种？直到米的产量为多少时，另一位才去帮忙？

（4）既然牛郎每小时可织3尺布，而织女只能织2尺布，所以牛郎应该总是织布，对不对？为什么？

解：设织布数量表示为，米的产量表示为。

（1）牛郎的生产可能性边沿的表达式为，织女的生产可能性边沿可以表示为。二人的生产可能性前沿几何表示如图9-12和9-13所示。

图9-12　织女的生产可能性边界

图9-13　牛郎的生产可能性边界

（2）牛郎的米—布边际转换率为10︰3；织女的米—布边际转换率3︰1。

（3）由于牛郎的米—布边际转换率高于织女的米—布边际转换率，因此牛郎在种米上有比较优势，织女在织布上有比较优势。所以牛郎先去种米，直到产量超过100千克时，织女才去种米。其生产可能性边界如图9-14所示。

图9-14

（4）不对。交换基于相对优势，而不是绝对优势。织女在织布方面具有相对优势。

8．已知两种商品对甲、乙两人都是完全替代品，试在埃奇沃思框图里画出该两人-两商品经济的帕累托集。请考虑各种情况。

答：如图9-15所示，图中虚线是甲的无差异曲线，实线是乙的无差异曲线。虚线比实线陡，帕累托集是框图的右边和下边。

图9-15　帕累托集

类似地，如果虚线比实线平坦，那么帕累托集是框的左边和上边。如果甲、乙的无差异曲线斜率相等，则整个框图是帕累托集，此时二人不会进行交换。

9．在两人、两商品的纯交换经济里，甲的效用函数为，乙的效用函数为，他们的初始配置为和。请在埃奇沃思框图里描绘这一经济。指出帕累托集、契约曲线及所有竞争均衡配置。如果竞争均衡存在，均衡价格是多少？

解：如图9-16所示，甲的无差异曲线为直线，乙的无差异曲线为典型平滑的凸无差异曲线，初始配置点为。

图9-16

下面求解竞争均衡，不妨设两种商品的价格为和。根据效用最大化的一阶条件，均衡时：

对于甲来说，满足：

对于乙来说，满足：

从而有：，。

又由甲乙各自的预算约束有：

将，代入预算等式，并结合及，可以解得均衡的资源配置为：

，均衡相对价格为。

10．有三组消费者，同一组内的消费者在各方面完全相同。当甲、乙两组间开通交易后，两组内每个人都得到了利益。

（1）此时丙组的人再介入交易，社会福利会不会进一步提高？其结果是不是帕累托优于仅有甲、乙两组交易的结果？

（2）如果三组同时开通交易，而不是甲、乙组先交易后丙组再介入，那么以上两个问题的答案又是怎样？

答：（1）一般而言，社会福利会进一步提高。其结果帕累托优于仅有甲、乙两组交易的结果。

（2）三组同时开通交易得到的结果与甲、乙先开通交易，然后丙再介入交易得到的结果一样。