2.1.3　函数可导与连续的关系

函数连续与可导是函数的两个重要性态，那么它们关系如何？先观察函数y=|x|和在原点的连续性与可导性，其图像分别如图2-2和图2-3所示.

图　2-2

图　2-3

直观上观察到两个函数在定义域区间内的任何点处都是连续的.由于导数的几何意义是曲线切线的斜率，显然它们在坐标原点处不存在切线，所以它们在原点处不可导.因此，函数在某点处连续，在该点处不一定可导.那么，函数在该点处可导就一定连续吗？下面用定理来回答.

定理2　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则f（x）在点x0处一定连续.

证明　函数y=f（x）在点x0处可导，则存在，因为

所以函数y=f（x）在点x0处连续.

下面举例说明函数在点x0处连续，但在此点不可导.

例6　讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.

所以y=|x|点x0=0处连续.

在x0=0处左、右导数不相等，所以 不存在，故在x0=0处函数y=|x|不可导.

发现：若函数在某点可导，则其在该点一定连续；若函数在某点连续，则其在该点不一定可导；若函数在某点不连续，则其在该点一定不可导.