9.5 傅里叶变换的频率剖分

如果定义在整个实线上的（复）函数f（χ）的傅里叶变换g（p）对所有p≥0均为零，则称f（χ）为正频率函数。这时f（χ）就只由p＜0的eiχ p的分量组成。（欧拉一定又要替g（p）担心了（见§6.1），它明显是由p＜0时的非零函数与p＞0时的零“粘合”而成的。但它似乎体现了f（χ）完美的“全纯”特性。）表示这种“正频率”条件的另一种方法是依据f（χ）的全纯可扩展性质，我们在讲述傅里叶级数前谈到过这种性质。现在我们将变量χ取为实轴上的点（故在实轴上有χ=x），在黎曼球面上，这个“实轴”（包括点“χ=∞”）是实圆（图8.7c）。这个圆将球面分成了两个半球，凸向“外”的对应于标准复平面图形的下半平面。f（χ）为正频率函数的条件现在全纯地扩展为这个凸向“外”的半球面。

但当我们比较这两种“正频率”定义时，有一个问题需要注意。它牵涉到我们如何处理点z=∞，因为函数f（χ）一般在这里总是奇异的。实际上，只要我们采用下面（§9.7）要说的“超函数”观点，z=∞处的奇异性就不会引起实质性的困难。对“f（∞）”也采取类似的适当处理，我们可以证明，我在上面给出的这两种正频率定义基本上是彼此一致的。[8]

对有兴趣的读者，根据黎曼球面来检验一下与§9.4中取极限有关的几何是有益的，这种取极限过程使我们从傅里叶级数过渡到傅里叶变换。让我们回到早先考虑的z平面描述。对周期2π的函数f（χ），这里χ度量单位圆的弧长。假定我们以持续增大步长的方式改变周期，使之取一系列比2π更大的值，同时仍取χ为圆的弧长。这可以通过考虑一系列越来越大的圆来实现，但为了使取极限过程不失几何意义，我们假定这些圆全都在χ=0点彼此相切（图9.10（a））。下面为简单计，我们取这个点为原点z=0（不是z=1），则所有圆均处下半平面。这样，初始圆对应周期l=2π，该单位圆的圆心在z=－i，而不是原点。对周期l＞2π的那些圆，其圆心处于复平面上C=－il/2π的位置，在l→∞的极限情形，我们得到实轴本身（故χ=x），“圆心”沿负的虚轴方向移至无穷远。在每一种情形，我们现在都取χ为顺时针测得的圆弧长（在极限情形，则为沿实轴的正距离），且在原点χ=0。由于现在圆是非标准（顺时针）取向，它们的“外侧”即为它们的内部（见§9.3，图9.6），因此正频率条件指的就是这个内部。现在我们将χ和z之间的关系表示成**〔9.7〕

图9.10 l→∞时的正频率条件，这里l是f（χ）的周期。（a）由l=2π开始，定义在单位圆上的f的圆心在z=－i。随着l增加，圆的半径为l，圆心在C=－il/2π的位置。在每一种情形下，χ为顺时针测得的圆弧长。正频率表示f可全纯地扩展到圆内，在l=∞极限情形下，则扩展到下半平面。（b）同样，在黎曼球面上，对有限的l，傅里叶级数可由关于z=－il/2π的洛朗级数得到，但是在球面上这个点不是圆心，并且随着取l=∞极限，该点变成无穷远点∞，这时傅里叶级数变成傅里叶变换。

对有限的l，我们可通过点C=－il/2π处的洛朗级数将f（χ）表示成傅里叶级数，并通过取极限l→∞得到傅里叶变换。在有限l的情形下，当f（χ）的全纯可扩展性延伸到相关圆的内部时，我们得到正频率条件；而在l→∞的极限情形下，f（χ）的这种全纯可扩展性延伸到整个下半平面，以便与上述条件相一致。

那么洛朗级数在l→∞的极限情形下会怎样呢？这时我们需要借助黎曼球面来理解。对有限的l值，点C（=－il/2π）是χ圆的圆心，但在黎曼球面上，点C已不再像圆心。随着l的递增，C沿黎曼球面上表示虚轴的圆向外运动（图9.10（b）），点C（=－il/2π）越来越不像圆心。最后，在l=∞的极限情形下，C变成黎曼球面上的点z=∞。但当C=∞，我们发现它实际上是处在本当是圆心的圆上！（这个圆就是现在的实轴。）因此，取关于这个点的幂级数将出现奇异（或“奇点”）——当然这是预料之中的，因为我们不再能得到各项的和，只能得到连续的积分。