1.1.2 有限差分法

有限差分法是把基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用差分方程表示，把求解微分方程的问题转换为求解代数方程的问题。

其特点是差分公式导出简单、计算成本低、但其稳定性要求决定了在离散化时对距离步长与时间步长的选用受到一定制约。网格划分规整，不存在单元分析和整体分析。一般要求对物体进行有规则网格划分，对于复杂或不规则的几何形状的分析精度受到影响。

其中心思想是将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格为矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立包含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分方程组，该差分方程组的解就是原微分方程定解问题的数值近似解。

构造有限差分的方法很多，主要有数值微分法，积分插值法，待定系数法以及泰勒（Taylor）级数展开法等。目前普遍采用泰勒（Taylor）级数展开法，即将展开式中求解连续场控制方程的导数用网格节点上函数值的差商代替，进而建立起基于网格节点函数为未知量的代数方程组。