2.5 光波在光纤波导中的传播

本节讨论光波在光纤波导中的传播的传播性质。

2.5.1 光纤波导的结构及弱导性

光纤是一种能够传输光频电磁波的介质波导。光纤的典型结构如图2-15所示，它由纤芯、包层和护套三部分组成。纤芯和包层构成传光的波导结构，护套起保护作用。波导的性质由纤芯和包层的折射率分布决定，图2-15（b）、（c）是两种典型的纤芯折射率剖面图，工程上定义Δ为纤芯和包层间的相对折射率差，即

当Δ<0.01时，式（2-86）简化为

式（2-87）称为光纤波导的弱导条件。从理论上讲，光纤的弱导特性是光纤与微波圆波导之间的重要差别之一。实际使用的光纤，特别是单模光纤，其掺杂浓度都很小，使纤芯和包层只有很小的折射率差。所以弱导的基本含义是指很小的折射率差就能构成良好的光纤波导结构，而且为制造提供了很大的方便。

一般介质波导截面上的折射率分布可以用指数型分布表示为

式中，a为纤芯半径，n1为光纤轴线上的折射率，n2为包层折射率，α为一常数。α=∞，即为阶跃光纤；α=2，即为平方梯度光纤，如图2-15（b）、（c）所示。这两种光纤是应用最广泛的光纤波导，也是我们这里讨论的重点。

图2-15（d）中给出了单模光纤和多模光纤的结构参量。综合光纤纤芯半径a、相对折射率差Δ和工作波长λ，光纤的结构参量用光纤归一化频率V表示，即

式中，k0=2π/λ为光波在自由空间的波数，在弱导条件下

2.5.2 光束在光纤波导中的传播特性

以上简单介绍了光纤波导的结构特点，下面介绍光束在光纤波导中的传播特性。分析光束在光纤中传播特性的基本方法有光射线分析法和电磁模式理论，两者之间有很强的互补性。前者直观实用，例如可方便得到光纤数值孔径和射线分类概念。但由于分析方法的近似性，很难说明单模和多模光纤的概念。电磁模式理论是最严格的分析方法，但较为复杂。在这里我们采用近似分析方法。

与其他波段的电磁波相比，光波的特点就是它的波长短。在研究光的传播问题时，所涉及的光学元器件及光波导尺寸比波长要大得多，所以通常总可以采用短波长近似来处理。这种处理方法就是射线法，相应的理论称为射线理论。这种理论是把光处理成光射线（简称射线），用光学中的反射和折射来解释波导中光的传播现象。其优点是直观、简单。

射线理论的基础是光线方程

式中，r表示空间光线上某点的位置矢量，s表示该点到光线到原点的路径长度，n（r）则为折射率的空间分布。应用式（2-91），结合初始条件，原则上就可确定任意已知折射率分布n（r）介质光线的轨迹。

1.阶跃光纤中光波的传播

图2-15所示的阶跃光纤，其纤芯和包层折射率均匀分布，折射率分别为n1、n2，纤芯和包层在纤芯半径a处形成反射界面。式（2-91）表明，均匀介质中光线轨迹是直线，显然，光纤的传光机理在于光的全反射。光纤可视为圆柱波导，在圆柱波导中，光线的轨迹可以在通过光纤轴线的主截面内，如图2-16（a）所示，也可以不在通过光纤轴线的主截面内，如图2-16（b）所示。为完整的确定一条光线，必须用两个参量，即光线在界面的入射角θ和光线与光纤轴线的夹角φ。

（1）子午光线

当入射光线通过光纤轴线，且入射角θ1大于界面临界角θc=arcsinn2/n1时，光线将在柱体界面上不断发生全反射，形成曲折回路，而且传导光线的轨迹始终在光纤的主截面内。这种光线称为子午光线，包含子午光线的平面称为子午面。

考虑图2-17所示的光纤子午面，设光线从折射率为n0的介质通过波导端面中心点A入射，进入波导后按子午光线传播。根据折射定律，则

当产生全反射时，要求θ1>θc，因此有

在一般情况下，

n0=1（空气），则子午光线对应的最大入射角为

式中NA称为光纤的数值孔径，它决定了子午光线半孔径角的最大值，即代表光纤的集光本领。在弱导条件下

例如，Δ=0.01，n1=1.5，则（约等于12°）。值得注意的是光纤的集光能力仅由折射率分布决定。

（2）斜射光线

当入射光线不通过光纤轴线时，传导光线将不在一个平面内，而按照图2-18所示的空间折射传播，这种光线称为斜射光线。如果将其投影到端截面上，就会更清楚地看到传导光线将完全限制在两个共轴圆柱面之间，其中之一是纤芯—包层边界，另一个在纤芯中，其位置由角度θ1和φ1决定（见图2-18），称为散焦面。显然，随着入射角θ1的增大，内散焦面向外扩大并趋近为边界面。在极限情况下，光纤端面的光线入射面与圆柱面相切（θ1=90°），在光纤内传导的光线演变为一条与圆柱表面相切的螺线，两个散焦面重合，如图2-18（b）所示。

现在分析斜射光线满足全反射条件时的最大入射角。根据图2-18（a），设斜射光线从光纤端面上A点入射，然后在B、C等点全反射，过B、C两点作直线平行于轴线OO'，交端面圆周于P、Q两点。用φ0表示端面的入射角，用φ1表示折射角（又称为轴线角），α=π/2-φ1表示折射光线与端面的夹角，γ表示入射面与子午面AOO'的夹角，θ1表示折射光线在界面的入射角。由于α和γ各自所在的平面互相垂直，根据立体几何原理

当满足全反射条件sinθ1≥n2/n1时，即要求

由式（2-96）得到波导内允许的最大轴线角为

应用折射定律，当n0=n2=1（空气）时，最大入射角为

式中，是传导子午光线的最大入射角。由于cosγ<1，可见满足条件θ1>θc时斜射光线入射角可以取。由式（2-98）、式（2-99）可以看出，当γ=0时，取最小值，并使；当时，。也就是说，条件θ1>θc似乎对φ1并没有任何限制。实际上，在圆柱界面情况下，满足条件θ1>θc的斜射光是否一定能产生光的全反射而无损耗地传输光功率，需分析轴线角φ1的影响。对于斜射光线，其纵向传播常数应为

考虑φ1>π/2-θc的光线，代入式（2-100）得

电磁理论的分析的结果是β=k0n2正是圆柱波导导模的截止条件。也就是说，如果φ1>π/2-θc，即使满足θ1>θc，导模也是截止的。为说明这一点，不妨分析一下斜射线在圆柱界面的反射情况，如图2-19所示。因为斜射光波在界面的入射面与圆柱界面的交线是椭圆，若平面光波在A点入射，且中心光线1的入射角θ1>θc，但光线1，2和3的入射角并不相同，且θ2>θ1>θ3。因此在A点右边的光线有可能不满足条件θ3>θc，其偏离全反射条件的程度决定于界面的曲率，也即决定于轴线角φ1。这就说明，在弯曲界面情况下，凡轴线角φ1大到一定程度的光波，即使满足平面边界全反射条件，也只能部分反射，因而不断有光功率向芯区外泄漏。

由以上讨论可见，在圆柱界面上一点A处所有可能的入射光线可分为图2-20所示的三部分：

① 非导引光线（折射光线）。当θ1<θc时，对应于以过A点的界面法线为轴线，以θc为锥角做的半圆锥（1区）内的光线。显然这部分光线都不满足全反射条件，部分光线折射到包层中去了。

②导引光线。当θ1>θc，φ1<π/2-θc（β>k0n2）时，对应于以过A点切平面与柱面交线AA'为轴线，以φ1=π/2-θc为锥角作的半圆锥（2区）内的光线。这部分光线都将在A点全反射，因而光功率将限制在纤芯中无损耗地传播。根据折射定律计算出入射孔径角为

这个结果和式（2-94）相同，说明包括子午光线和斜射光线在内的总入射数值孔径角就是子午光线的数值孔径角。

③ 泄漏光线（隧道光线）。如果θ1>θc，φ1<π/2-θc（β>k0n2）。即处于上述两个半圆锥以外区域中的光线。这部分光线虽然满足条件θ1>θc，但在弯曲界面上并不发生光的全反射，即光功率不能全部限制在纤芯中，部分功率向纤芯外泄漏。

（3）不同光程引发的光脉冲的弥散

从上述讨论已知，阶跃光纤中与光纤轴成不同夹角的导引光线，在轴向经过同样距离时，各自走过的光程是不同的。因此，若有一个光脉冲在入射端激发起各种不同角度的导引光线，那么由于每根光线经过的光程不同，就会先后到达终端，从而引起光脉冲宽度的加宽，称为光脉冲的弥散。

以子午光线为例，我们来分析不同光线的时延差。与光轴成φ角的光线沿轴的速度为vz=vcosφ=（c/n1）cosφ，当φ=0时，速度最大；φ=θc时，速度最小。因此，光线经过轴向距离L所花的最长和最短时间差为

可见，光脉冲弥散正比于Δ，Δ越小，Δτ就越小。

2.渐变折射率光纤

我们看到在阶跃折射率光纤中，与光轴成不同倾角的光线，在通过同样的轴向距离时，光程是不同的。倾角大的光线光程长，倾角小的光线光程短。人们自然会想到，若使折射率随离轴的距离增加而减小，那么偏离光轴大的光线虽然走过的路程长，但由于途经的折射率小，这就会使大倾角光线的光程能得到某种程度的补偿，从而减小最大迟延差。这就产生了渐变折射率分布光纤。但由于分析的复杂性，在此只讨论平方率梯度光纤中光波的传播特性。

（1）平方律梯度光纤中的光线轨迹

平方律折射率分布光纤的n（r）可表示为

由光纤理论可以证明子午光线轨迹按正弦规律变化

式中，r0、Ω由光纤参量决定。可见平方律梯度光纤具有自聚焦性质，又称自聚焦光纤，如图2-21（a）所示。一段Λ/4（Λ=2π/Ω）长的自聚焦光纤与光学透镜作用相似，可以会聚光线和成像。两者的不同之处在于，一个是靠球面的折射来弯曲光线；一个是靠折射率的梯度变化来弯曲光线。自聚焦透镜的特点是尺寸很小，可获得超短焦距，可弯曲成像等。这些都是一般透镜很难或根本不能做到的。可以证明，自聚焦透镜的焦距（焦点到主平面的距离）f为

f随z的变化如图2-21（b）所示，z=Λ/4时，f=fm i n。

（2）平方律折射率分布光纤中光线的群迟延和最大群迟延差

光线经过单位轴向长度所用的时间称为比群迟延（specific group delay），即单位长度的群迟延。在非均匀介质中，光线的轨迹是弯曲的。沿光线轨迹经过距离s所用的时间τ为

式中，c为真空中的光速，n为折射率。群迟延的这个表达式没有考虑材料色散。若光在轴向前进的距离为L，对于传导模，传播常数β的大小在n2k0与n1k0之间取值。详细计算表明最大的群迟延差为

式中，τ0=（n1L）/c。与式（2-103）相比，可以看到，平方律分布光纤中的群迟延只有阶梯折射率分布光纤的Δ/2。

2.5.3 光束在光纤波导中的衰减和色散特性

1.光纤的衰减

光纤的衰减是光纤的重要指标，它表明光纤对光能的传输损耗，对光纤通信系统的传输距离起决定性的影响。

衰减系数α定义为单位长度光纤光功率衰减的分贝数，即

式中，Pi、Po分别为光纤的输入、输出光功率，L是光纤长度。

光纤衰减有下列两种主要来源：吸收损耗和散射损耗。

（1）吸收损耗

吸收损耗是由于光纤材料和其中的有害杂质对光能吸收引起的，它们把光能以热能形式消耗于光纤中。

材料吸收损耗是一种固有损耗，不可避免。我们只能选择固有损耗较小的材料来做光纤。石英在红外波段内吸收较小，是优良的光纤材料。

有害的杂质吸收主要是由于光纤材料中含有Fe，Co，Ni，Mn，Cu，V，Pt，OH等离子。光纤中只要有10-6（百万分之一）数量级的上述杂质粒子，就会引起很大的损耗。一般采用10-6超纯度的化学原料来制造低损耗光纤。近代的光纤采用的超纯原料中基本上没有金属离子，而光纤的吸收损失主要是由于OH离子引起的。光能的吸收是由于分子价键的共振，所以光纤的损耗—波长特性呈峰状。它的基波吸收波长位于2.72μm，二次、三次谐波吸收分别位于1.38μm，0.95μm。在1.24μm，1.13μm，0.88μm和2.22μm处是OH离子和光纤材料SiO2的组合共振吸收峰。采用OH离子含量小于1×10-6的材料可制成极低损耗的光纤。由于单模光纤只有一个基模，它的传输光程短于多模光纤的高阶模的平均光程，通常单模光纤的衰减略小于多模光纤。

（2）散射损耗

由于光纤制作工艺上的不完善，如有微气泡、折射率不均匀，以及有内应力等，光能在这些地方会发生散射，使光纤损耗增大。

另一种散射损耗的根源是所谓瑞利散射，即光波遇到与波长大小可比拟的带有随机起伏的不均匀质点时发生的散射。瑞利散射损耗与波长四次方成反比。可以采用较长的工作波长以减少瑞利散射损耗。若光纤原料组分多，结构复杂，则瑞利散射损耗严重。

光纤中尚存在所谓布里渊和拉曼散射损耗。它们是强光在光纤中引起的非线性散射损耗，一般在多模光纤中光能密度较小，这种情况不会发生。但在单模光纤中，由于芯径很小，当光能密度足够强时，就可能发生这两种损耗。

2.光纤色散、带宽和脉冲展宽参量间的关系

（1）光纤的色散

光纤的色散会使脉冲信号展宽，即限制了光纤的带宽或传输容量。一般来说，单模光纤的脉冲展宽与色散有下列关系

式中，d是总色散，L是光纤长度，δλ是光信号的谱线宽度。多模光纤的色散起因主要是下列三种：模色散、材料色散和波导色散。其中模色散占主要成分。它是由于各个传输模的传播系数不同，即由于各传输模经历的光程不同而引起的脉冲展宽。

单模光纤只有一个传输模，所以没有模色散。单模光纤色散的起因有下列三种：材料色散、波导色散和折射率分布色散。其含义如下：

材料色散。由于光纤材料的折射率对光频不是常数，使光能在光纤中的传播速度随光频不同而不同。对于谱线较宽的信号，经过传输后，会发生脉冲展宽，这称为材料色散。

波导色散。假设一个具有一定谱线宽度的光脉冲，在一个折射率不随光频改变的理想单模光纤中传播，其结果仍发生脉冲展宽现象，其原因是由于光频改变时，传输模的传播常数β随之改变而引起的色散，称为波导色散。

折射率分布色散。纤芯和包层的折射率差由式（2-111）定义

这里假设折射率是随光波长而改变的。由于Δ随光频改变发生的色散称为折射率分布色散。一般纤芯和包层材料的折射率随光频按近似相同的比率改变，所以Δ一般近似不变，通常折射率分布散色很小，可以忽略。

（2）光纤的带宽

光脉冲展宽与光纤带宽有一定关系。实验表明光纤的频率响应特性H（f）近似为高斯型，如图2-22所示。

式中，P（f）和P（0）分别是光强调制频率为f和0时光纤输出的交流功率；fc是半功率点频率。显然有

因此，fc称为光纤的3dB光带宽。

一般光能量大多采用光电子器件检测，而检测器输出电流正比于被测光功率。对于式（2-113）有

所以fc又称为6dB电带宽。可见3dB光带宽和6dB电带宽的fc是相等的。