一、数与计算

（一）分数的运算

01.买衣裳的趣题

巧巧是一位穿着时尚，不化妆不上街，平时还爱照镜子的女孩。前日，她在小商品批发市场买了上衣和裙子各一件，上衣价格的2倍比裙子价格的3倍少18元，而上衣价格等于上衣价格和裙子价格之和的，那么上衣和裙子的价格分别是多少，你能帮巧巧算算吗？

解析：上衣价格等于上衣价格和裙子价格之和的，则裙子的价格必为：

上衣价格的2倍，比裙子价格的3倍少18元，所以，上衣价格和裙子价格之和为：

所以，上衣价格为：

81×=45（元）

裙子价格为：

81×=36（元）

答：上衣价格为45元，裙子价格为36元。

02.幼师分果

有一位执教幼师，将桃、李、杏共1521枚分别分给若干名幼儿。每2人分桃1枚，每5人分李3枚，每7人分杏4枚。这位执教幼师当然知道幼儿人数和桃、李、杏各多少枚，你能算出来吗？

解析：

一个幼儿所得桃、李、杏之和为：

所以学生的人数为：

桃的数目为：

910×=445（枚）

李的数目为：

910×=546（枚）

杏的数目为：

1521-455-546=520（枚）

答：幼儿人数为910人，桃的数目为455枚，李的数目为546枚，杏的数目为520枚。

03.奖金

当秘书走进办公室时，杰克微笑着说：“贝蒂，现在我的事情已经做完，请把其他人都叫进来吧。”

很快，包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前，不知出了什么事。但老板很快使他们轻松起来。杰克告诉他们：“我想你们一定很高兴知道，我在克莱蒙的交易最后赢利了，这里有一笔260美元的奖金，在你们之间分配。”

贝蒂想自己职位较低，“也许轮不上我”，这令人沮丧的念头，刺伤了她的心。

但令人满意的是，杰克继续说道：“我已经算出了你们跟我工作的完整的年限，并按这个比例发放奖金，但允许男职员比女职员每年多得一半。”他一边说，一边递给每人一个信封。突发的感激，使职员们显得有些局促不安。

这对他们来说确是一种好运气！

已知职员们工作的完整年限分别是2年、3年、5年、6和7年。请你算出在杰克的职员中女性有几人？

解析：两种可能：

（1）假如5人全是男性，把260分解质因数260=2×2×5×13=20×13，说明工作一年奖金为13美元，他们的奖金分别是26美元、39美元、65美元、78美元和91美元。由于：26+39+65+78+91=299（美元）

299-260=39（美元）

26+26+65+52+91=260（美元）

所以有2个女的。男的每年得13美元奖金，女的每三年得26美元的奖金。而工作3年和6年的为女性。

（2）假如5人全是女性，把260分解质因数260=2×2×5×13=26×10，说明工作一年奖金为10美元，她们的奖金分别是20美元、30美元、50美元、60美元和70美元。由于：20+30+50+60+70=230（美元）

260-230=30（美元）

20+30+50+90+70=260（美元）

所以有1个男的。女的每年得10美元奖金，男的每年得15美元的奖金，而工作6年的为男性。

答：（1）有2个女的。男的每年得13美元奖金，女的每三年得26美元的奖金。而工作3，6年的为女的；（2）有1个男的。女的每年得10美元奖金，男的每年得15美元的奖金。而工作6年的为男的。

04.一场温和的赌博

“我没有一美分的零币。”汉克说着，一边叮当地敲着他的钱币：“你有多少？”

本恩查看了一下回答道：“正好五枚。怎么啦？”

“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样？”汉克一边说一边开始分牌，“规定是这样的：第一局输的人，输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有钱的四分之一；而第三局输的人，则须支付他当时拥有钱的三分之一。”

于是他们开始玩了，并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了，付完钱后他站起来声明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。”

这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有75美分的赌本。

试问，在游戏开始时汉克有多少钱呢？

提示：美分是最小的单位，不能再分。

解析：假设赌博结束之后汉克的钱是x美分，则本恩是（75-x）美分。

根据题意：

x-(75-x) ……（1）或者：=7(75-x)- =x 7……（2）

根据（1）式，得到：赌博结束之后汉克的钱是41美分，本恩的钱是34美分；根据（2）式，得到：赌博结束之后汉克的钱是34美分，本恩的钱是41美分.

再设第二局的结果也就是第三局的开始时，汉克有y美分，则本恩有（75-y）美分。

根据题意：

(75-y)÷3+ =y 41……（3）或者：

(75-y)÷3+ =y 34……（4）

根据（3）式解得：第三局的开始时，汉克有24美分，本恩有51美分。

根据（4）式解得：第三局的开始时，汉克有13.5美分，本恩有61.5美分。与我没有一美分的零币不符合。

那么现在就可以确定，是汉克在第二局输了。这时因为汉克在第三局开始的时候的钱数是24美分，则：

24×=32（美分）

75-32 = 43（美分）

第一局输的人的钱数应该是他第二局开始钱数的，所以只能是汉克第一局输了，他一开始的钱应该就是：

32×=40（美分）

而本恩一开始只能是35美分。

答：在游戏开始时汉克有40美分。

值得说明的是：第一局开始：汉克40美分，本恩35美分；第二局开始：汉克32美分，本恩43美分；第三局开始：汉克24美分，本恩51美分；赌博全结束：汉克41美分，本恩34美分。

最后2个人都有输有赢，但是汉克赢了1美分，本恩输了1美分，当然是投入精力多，回报少了。

05.毕达哥拉斯有多少学生

毕达哥拉斯是古希腊的数学家、天文学家和哲学家，他对数学的发展作出了卓越的贡献，最著名的是他与他的学生发现并证明了“毕达哥拉斯定理”（在我国称为“勾股定理”）的几何定理，据说当他们发现了这一定理后，他与他的学生欣喜若狂，竟杀了100头牛举行盛大庆典，以示庆祝。

一次有人问毕达哥拉斯有多少名学生。他的回答却是一道有趣的数学题：

我的学生一半在学数学，四分之一学音乐，七分之一沉默无言，此外，还有三名女生。请你算一算，毕达哥拉斯究竟有多少名学生？

解析：根据毕达哥拉斯的回答：我的学生一半在学数学，四分之一学音乐，七分之一沉默无言，此外，还有三名女生。可以知道三名女生占全体学生的比例是：

答：毕达哥拉斯的学生有28人。

06. 阿摩斯趣题

有人问一个赶着70头牛到牧场的牧人：“你赶来的这些牛，占全部家畜群的多少？”

牧人答：“我赶来的牛是家畜群的的。”问：牧人家畜群有多少头家畜？

解析：的是×=，全部家畜的是7头0，全部家畜为：

70÷=315（头）

答：牧人家畜群有315头家畜。

07. 求学生数

某人问老师：“请告诉我，您班上有多少名学生？因为我想送我儿子到您班上学习。”老师回答：“如果我班学生增加1倍，再加上倍，再加上倍，再加上您的儿子，将有100名学生。”求该班原有多少名学生？

解析：学生的（1+1++）=倍是：

（100-1）=99（人）。

所以学生数为：

99÷=36（人）

答：该班原有36名学生。

08. 思立哈拉趣题

有一群蜜蜂，其中落在杜鹃花上，落在栀（zhī）子花上，另一群蜜蜂等于这两批蜜蜂数目之差的3倍，飞向月季花去，最后一只蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，求共有多少只蜜蜂？

解析：本题关键在于找出最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例，因为：

杜鹃花的蜜蜂：全部的

栀子花的蜜蜂：全部的

月季花的蜜蜂：全部的（-）×3=

茉莉花和玉兰花：1只

所以，最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例是：

所以蜜蜂总数为：

1÷=15（只）

答：共有15只蜜蜂。

09. 萨姆·劳埃德的砖重趣题

问：如果一块砖与四分之三块砖加四分之三磅等重（见图1），则砖重几何？

解析：

方法一：天平左边增加到4块砖，天平右边增加到4个四分之三块砖和4个四分之三磅重砝码，天平仍然平衡。4个四分之三块砖是三块砖，4个四分之三磅重砝码是三磅重（见图2）。所以，

4块砖重=3块砖重+3磅重

即：1块砖重=3磅

答：一块砖重3磅。

方法二：一块砖与四分之三块砖加四分之三磅等重，其实说四分之一块砖重和四分之三磅等重，所以，1块砖重：

÷=3（磅）

答：一块砖重3磅。

10. 唐士陶趣题

英国著名数学家唐士陶，1522年拟有下题：一塔沉在河里，有沉入地层中，在水中，露出水面的部分有60英尺。问：这座塔在地层中、水中的部分有多少英尺？

解析：该塔露出水面的高度占塔的比例是：

所以塔高：

60÷=144（英尺）

塔在地层中的部分：

144×=48（英尺）

塔在水中的部分：

144×=36（英尺）

答：这座塔在地层中的部分有48英尺，在水中的部分有36英尺。

11. 亚洛布趣题

有两个城市相距260英里，两名使者在同一时间各从一个城市出发，相向而行。一名使者比另一名使者每天多走2英里。12天后两名使者相遇。那么每名使者每天各走多少英里？

解析：两名使者一天共走：

260÷12=（英里）

走路少的使者一天走：

走路多的使者一天走：

+2=（英里）

答：两名使者每天分别走英里和英里。

12. 愚蠢的伯爵

侯爵问伯爵：“100增加它的，再减少增加后的，结果是多少？”

伯爵答：“不增不减还等于100”。伯爵回答的对吗？请说明理由。

解析：10增0加它的是：100×（1+）=125

再减少增加后的是：

125×（1-）=

答：伯爵把标准量搞错了，所以他回答的不对。一个是100增加它的，一个是125减少它的。所以，伯爵回答：“不增不减还等于100”是错误的。

13.机器人演出队

吴工程师用遥控器指挥由机器人组成的文艺晚会。用占总数的机器人跳舞，占总数的机器人唱歌，用它们的和的2倍组成交响乐团伴奏。最后剩下6个机器人在身边候令。问：这组机器人共有多少个？

解析：

6个机器人占总数的：

所以，机器人总数为：

6÷=48（个）

答：这组机器人共有48个。

14.公主出题

古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干个李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余的一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余了，请问篮子中原有李子多少个？”

解析：从“又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余了”可知，第三个人得到李子为3÷=6（个），若第二人不拿又一个，则第一个人拿剩下的李子是（6+1）×2=14（个），若第一人不拿又一个，则李子总数是（14+1）×2=30（个）

答：篮子中原有李子30个。

15. 野牛迁居

一群野牛居住在森林里。它们要迁居，野牛王把野牛召集在一起，点数时，发现缺席头数是出席头数的，它很生气，刚要批评时，又跑来1头野牛，这时，缺席头数是出席头数的，问这群野牛共有多少头？

解析：“缺席的头数是出席头数的 ”，也就是缺席的头数是总数的。同理，又跑来1头野牛后，缺席头数是出席头数的，缺席的头数是总数的。从而知道：一头野牛占总数的：

所以，这群野牛有：

1÷=56（头）

答：这群野牛共有56头。

16.丢番图墓碑上的诗

丢番图（Diophantus，约246-330）是古希腊的一位数学家。据说，他墓碑上的碑文是用一首诗大略地记述了他的生平。诗是这样写的：

过路的人！

这儿埋葬着丢番图。

请计算下列数目，

便可知他一生经过了多少个寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，

十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的生命旅程，

他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生，

不料儿子竟先于父亲四年而终，

年龄不过父亲享年的一半，

晚年丧子老人真可怜，

悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算，丢番图活到多少岁，

才和死神见面？

根据这首诗给出的条件，我们可以用几种不同的方法求出丢番图去世时的年龄。

解析：

方法一：丢番图生儿子前的五年与儿子去世后的四年加在一起，共占他一生的

所以，丢番图去世时的年龄为：

9÷=84（岁）

答：丢番图去世时的年龄为84岁。

方法二：从诗的内容可知，丢番图去世时的年龄应是6、12、7、2的公倍数。由于12=6×2，所以，为求丢番图的年龄，只需求12与7的公倍数。12与7的最小公倍数是84，下面的公倍数分别为168，252，……丢番图不可能活到168岁，所以丢番图去世时是84岁。

代数的方法：

设丢番图去世时为x岁，则依题意可得方程：

解得x=84（岁）。

答：丢番图去世时的年龄是84岁。

17.欧拉的卖鸡蛋问题

欧拉的著作中还有这样一个有趣的题目：

两个农妇共带100个鸡蛋去市场上卖。两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同。第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15个克罗索（德国古代的一种货币）”。第二个农妇答道：“可是如果咱们俩的鸡蛋交换，我就只能卖个克罗索。”试问：这两名农妇各带了多少个鸡蛋？

解析：

方法一：算术方法

这两名农妇带的鸡蛋个数不等，但卖的钱数相等，说明她们所带的鸡蛋的个数与她们卖鸡蛋的单价成反比。另外，交换鸡蛋后第一个农妇卖的钱比第二个农妇多，说明原来第一个农妇所带的鸡蛋比第二个农妇少，而且，交换鸡蛋的个数并按各自的单价出售所得的钱数之比应为两人所带鸡蛋个数之比的平方。于是，15÷==（。由此可知，两人所带的鸡蛋个数之比为3：2。因而，第一个农妇带的鸡蛋为：

100×=40（个）

第二个农妇带的鸡蛋为：

100-40=60（个）

方法二：代数方法

设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了（100-x）个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为与。

由于二人卖的钱数相同，故有方程

即：

显然应为正值，故上式两边开方可得=

利用合比定理可得：

即：

所以x=40，100-x=60。

答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋。

注：合比定理

若=，则=

18.涡卡诺夫斯基的算术题

（1）狗跳问题

一只狗追赶一匹马，狗跳6次的时间，马只能跑5次，狗跳4次的距离和马跑7次的距离相同，马跑了5.5千米以后，狗开始在后面追赶，马又跑多长的距离，才被狗追上？

解析： 设狗跳4次的距离为S

相同时间（狗跳6次的时间）内狗跑的距离= 6×（）

相同时间（狗跳6次的时间）内马跑的距离= 5×（）

则相同时间内，狗比马多跑 L： = 6×（）- ×5（ =）。

狗要追5.5千米，需要的时间是

这段时间内，马跑的距离是T×5×（）=×5×（）=5（千米）。

答：马又跑了5千米，才被狗追上。

（2）船长问题

有人问船长，在他领导下的共有多少人，船长回答说：“去站岗，在工作，在医院，27人在船上”。问在船长领导下共有多少人？

解析：船长领导的人数为x，则：

解得：x=420（人）

答：船长领导的人数共有420人。

19. 印度古题

将某数乘5，从所得的积中减去乘积的，余数再除以10，然后依次加上原数的，和，最后得68，求某数。

解析：这题若用现在的代数方法解，很容易列出方程求解。对于初中生来说是容易的事。我们仔细分析分析，只要用小学的算术方法也可简便解出。因此，这道题可降格到小学生的水平。

我们先设法求出某数的5倍，从乘积中减去，则剩下的数是乘积的，余数再除以10，即将乘积的×=，依次加上原数的，和，实际上就是加上乘积的，和，因此乘积的（ + + +）是6，8所以，乘积应等于：

240是某数的5倍，所以某数为：240÷5=48

答：某数是48。

20. 俄罗斯古题

狮子1小时吃完一只羊，老虎2小时吃完一只羊，豺狗3小时吃完一只羊。问狮子、老虎和豺狗一起吃，1小时吃几只羊？吃一只羊需要多长时间？

解析：（用算术方法解）我们可先考虑6小时（因为在6小时里狮子、老虎和豺狗吃羊的只数都是整数）的情况：6小时狮子吃完6只羊，老虎吃完3只羊，豺狗吃完2只羊，因此，狮子、老虎和豺狗一起吃，6小时吃完（6+3+2）=11（只羊），所以1小时吃只羊，吃一只羊所需时间为小时。

也可按如下列式计算：

狮子、老虎和豺狗一小时吃几只羊？

狮子、老虎和豺狗吃一只羊要多长时间？

答：狮子、老虎和豺狗一小时吃只羊，狮子、老虎和豺狗吃一只羊需要小时。

21.惠茜和美莲

惠茜（贤惠）和美莲（美丽如莲花一样）有同等数额的收入，惠茜每年除用度（使用）外，尚余两人总收入的，存入银行。美莲每年的用度比惠茜多570元。像这样5年后，美莲欠债570元。

问：惠茜和美莲一年的收入是多少？

解析：五年内美莲比惠茜多用：

570×5=2850（元）

减去欠债：

2850-570=2280（元）

正与惠茜五年存入银行的钱数相等，所以惠茜每年存入银行的钱数是：

2280÷5=456（元）

即尚余两人总收入的，所以惠茜和美莲一年的收入是：

45 ÷6 =167（2元）

答：惠茜和美莲一年的收入为1672元。

22.五樽均酒

有五个酒樽（盛酒器），容量各不等。若乙樽之酒，倾于甲樽，丙樽又倾于乙樽，丁樽又倾于丙樽，戊樽又倾于丁樽。如是，则五樽容量皆为3斗（1斗=10升，合现在2000毫升）。问：各樽最初之量如何？

释义：有甲、乙、丙、丁、戊五个酒樽，容量各不相等。如果将乙樽里的酒，倾到给甲樽；丙樽里的酒，又倾到给乙樽；丁樽里的酒，又倾到给丙樽；戊樽里的酒，又倾到给丁樽。那样的话，甲、乙、丙、丁、戊五个酒樽里的酒都是3斗。问：各樽里最初有多少酒？

解析：1斗=10升

戊樽里最初有酒：

30÷（1-）=36（升）

用30升减去来自戊樽倾到的酒量，为丁樽里最初有酒的（1-）=，所以丁樽里最初有酒（下同）：

丙樽里最初有酒：（30-32×）÷（1-）=33（升）

乙樽里最初有酒：（30-33×）÷=38（升）

甲樽里最初有酒：（30-38×）=11（升）

答：原来甲樽有酒11升、乙樽有酒38升、丙樽有酒33升、丁樽有酒32升、戊樽有酒36升。

23.唐老鸭与米老鼠赛跑

唐老鸭与米老鼠进行1万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米，唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n个命令，米老鼠就以原速度的倒退一分钟，然后按原速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次？

解析：唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意要求：

求唐老鸭发出的指令数n，使得米老鼠前进的距离减去米老鼠倒退的距离小于10000米，即：

我们应该从n=1，n=2，n=3，……逐个试算，为了方便，从n=12试算。

当n=12时，

而125×（88-）=125×=10025＞10000，不符合要求。

当n=13时，

，符合要求。

答：唐老鸭发出的指令数为13时，使得米老鼠前进的距离减去米老鼠倒退的距离小于10000米。

24.煞费苦心的送奶人

一位煞费苦心的送奶人每天早晨在出发之前，都要把两个16加仑的牛奶桶盛满纯牛奶。他的客户分布于四条不同的街道，每条街道都要供应32夸脱数的牛奶。

第一条街的任务完成之后，他接上自来水龙头。瞧，他的牛奶桶又满到边上了！接着，他到第二条街去送牛奶，送完后，再回到自来水龙头处，如前次那样又把牛奶桶灌满。

他用这种办法为每条街道服务，每送完一条街道就用水把牛奶桶灌满，直到所有幸运的客户都被服务到为止。

试问：第二、三、四条街道分到了多少纯牛奶？ 桶中还剩下多少夸脱纯牛奶。

注：加仑，英美制液量单位。1加仑约合4.5460升（英）或3.785升（美）。夸脱、品脱也是英美制液量单位，1加仑=4夸脱。

解析：两个16加仑的牛奶为16×4×2=128（夸脱）纯牛奶。

第一条街分到32夸脱纯牛奶，剩下128-32=96（夸脱）纯牛奶，则第二条街分到的是：96×=24（夸脱）纯牛奶，剩下128-32-24=72（夸脱）纯牛奶；

则第三条街分到的是：72×=18（夸脱）纯牛奶，剩下128-32-24-18=54（夸脱）纯牛奶；

则第四条街分到的是：54×=13 5.（夸脱）纯牛奶。

桶中还剩下纯牛奶：128-32-24-18-13.5=40.5（夸脱）纯牛奶。

答：第二、三、四条街道分到的纯牛奶分别是24、18、13.5夸脱，桶中还剩下纯牛奶40.5夸脱。

25.爱神的烦恼

古希腊同中国、古印度、古巴比伦并称世界四大文明古国。古希腊的神话、诗歌举世闻名。《希腊文集》是一部用诗歌写成的问题集，其中有一首用诗歌写成的数学题：《爱神的烦恼》。诗中的几位女神分工如下：爱罗斯是希腊神话中的爱神，吉波莉达是赛浦路斯岛的守护神。9位文艺女神中，叶芙特尔波管简乐，爱拉托管爱情诗，达利娅管吉剧，特希霍拉管舞蹈，美利波美娜管悲剧，克里奥管历史，波利尼娅管颂歌，乌拉尼娅管天文，卡利奥帕管史诗。

爱神爱罗斯正在发愁，女神吉波莉达问其原由：“你为什么烦恼，我亲爱的朋友？”

爱罗斯回答：“我在黑里康山采集仙果，路遇九位文艺女神嬉戏抢夺。”

叶芙特尔波抢走七分之一，爱拉托抢得一样多——每七个仙果中拿走一个，八分之一被达利娅抢走，比这多一倍的仙果却落入了特希霍拉之手。美利波美娜算是客气，每二十个仙果中拿走一个。可又来了克里奥，她的收获为这四倍之多。波利尼娅拿得最少，也还有三十个仙果。最后两位也不空手：一百二十个仙果归乌拉尼娅，而卡利奥帕却拿走三百个之多。我回家时几乎两手空空，仅给我剩下五十个仙果。”

请你算一算，爱神爱罗斯当初摘了多少个仙果？

注：诗歌中的多少分之一都是相对于当初的仙果总数而言的。

解析：仔细审题，我们发现：叶芙特尔波拿了整个的，爱拉托也拿走了整个的，达利娅拿走了整个的，特希霍拉拿走了整个的×2，美利波美娜拿走了整个的，克里奥拿走了整个的×4，波利尼娅拿了30个，乌拉尼娅拿走了120个，卡利奥帕拿走了300个，爱罗斯自己只拿了50个。

叶芙特尔波、爱拉托、达利娅、特希霍拉、美利波美娜、克里奥一共拿了整个的：

剩下的：

波利尼娅、乌拉尼娅、卡利奥帕、爱罗斯一共拿了：30+120+300+50=500（个）

所以原来一共有：500÷=5600（个）

答：爱神爱罗斯当初摘了5600个仙果。